A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy a szerkesztés pontos, jelöléssel és .
Válasszuk hosszúságegységnek a kör sugarát. Így és , pozitívnak véve az irányt, és meg kell határoznunk -t és -t. Kiindulunk a | | összefüggésből. Ezt az értékekre felírva és összeadva
A második zárójel értéke , hiszen , így pedig az első zárójel értéke is , hiszen folytán egyenlő a bal oldallal, és szorzója, . Így | | ami a | | jelölés bevezetésével így alakul: A bevezetett számokra egyrészt nyilvánvalóan
másrészt mint könnyen belátható, | | (4) |
Tekintsük most a következő két összeget: | | ezekre (1)‐(3) alapján a következő egyenletrendszert kapjuk: | | (5) | tehát a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggések alapján ugyanis (4) miatt . Ezek alapján hasonlóan számíthatjuk ki a következő két-két összeget: | | ugyanis ezekre | | és mivel még (4) szerint és , azért
Végül a összeg tagjainak szorzata (3) szerint így a keresett két érték -szerese: és a következő másodfokú egyenlet két gyöke: előrebocsátott megjegyzésünk szerint azt kell tehát megvizsgálnunk, hogy az előjeles , szakaszok -szerese is kielégíti-e (9)-et. A szerkesztés szerint , . Legyen az háromszög -beli szögfelezőjének -gyel való metszéspontja. A szögfelező-tétel alkalmazásával, majd felismerve a (6)-beli második kifejezést, továbbá az derékszögű háromszögből
Hasonlóan, mivel az háromszög szögfelezője, mindjárt felismerve a (8) kifejezést
és ebből Ennek alapján kifejezhetjük -et. (8) és (5) felhasználásával, majd felismerve a (7) kifejezést
Most már képezhetjük a kérdéses , előjeles szakaszok összegét és szorzatát. felezi a szakaszt, ezért (10) alapján | | (12) | a közös magasságú és derékszögű háromszögekből pedig (11) alapján | | (13) | és (12), (13) együtt azt jelenti, hogy az , előjeles szakaszok -szerese szintén kielégíti a (9) egyenletet. És mivel (9)-nek csak két gyöke van, a két úton kapott gyökök páronként azonosak, (4) figyelembevételével | | ami állításunkat bizonyítja.
Csirmaz László (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t. ) | Megjegyzés. C. F. Gauss német matematikus bebizonyította (19 éves korában, 1796-ban), hogy szabályos sokszög eukleidészi szerkesztéssel akkor és csak akkor szerkeszthető, ha oldalai számának prímfelbontása alakú, ahol egymástól különböző, alakú prímek, alakú kitevővel. (A és esetek, szabályos háromszög és szabályos ötszög, közismertek.) Azóta számos eljárást adtak meg a szabályos -szög szerkesztésére, a fentiekben H. W. Richmond eljárását ismertük meg (1893). Az szögre Gauss a következő eredményt közölte egy tanítványával:
|