Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.12	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Göndőcs Ferenc , Martoni Viktor , Somorjai Gábor
Füzet:	1969/április, 171 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Inverzió, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/november: Pontversenyen kívüli P.12

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes,¹ hogy $g$ -nek $g'$ inverze mindenképpen kör, tehát mindig beszélhetünk $O_{1}$ középpontjáról. Tudjuk továbbá, hogy ha $g$ egyenes, akkor inverz képe átmegy $C$ -n, és $C$ -ből induló átmérőjének másik végpontját a $C$ -ből a $g$ egyenesre bocsátott merőleges $T$ talppontjának $S$ inverz képe adja (1. ábra).

1. ábra

Így

O_{1}

C S

szakasz felezőpontja.
Másrészt

C

-nek

g

-re való tükörképe a

C T

félegyenesen van, kétszer olyan távol

C

-től, mint

T

, így ebben az esetben a feladat állítása következik abból az egyszerű tényből, hogy kétszeres távolságban elhelyezkedő pont inverz képe fele akkora távolságra van az inverzió középpontjától, mint az eredeti pont inverz képe.
Legyen most

g

kör, és

O

középpontja ne legyen azonos

C

-vel. Tudjuk, hogy

g'

céljára egy átmérő végpontjait a

g

kör

C

-től legtávolabbi

Q_{1}

és legközelebbi

Q_{2}

pontjának

P_{1}

és

P_{2}

inverz képei adják, tehát

O_{1}

P_{1} P_{2}

szakasz felezőpontja. Jelöljük

R

-rel a

k

alapkör,

r

-rel

g

sugarát és legyen

C O = d

, a feltevés alapján

d \neq r

(2. ábra).

2. ábra

Ekkor

\begin{matrix} C Q_{1} = d + r, C Q_{2} = d - r, \\ C P_{1} = \frac{R^{2}}{d + r}, C P_{2} = \frac{R^{2}}{d - r}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} C O_{1} = \frac{C P_{1} + C P_{2}}{2} = R^{2} \cdot \frac{d}{d^{2} - r^{2}}, \end{matrix}

(1)

ahol a szereplő távolságok előjellel együtt értendők, pozitívnak véve a

C O

félegyenes irányát.
Másrészt a

C

pont

g

-re vonatkozó

C_{1}

inverz képe

O

-tól

- \frac{r^{2}}{d}

távolságra, s így

C

-től

d - \frac{r^{2}}{d}

távolságra van. Ezért a

C_{1}

pont

k

-ra vonatkozó

C_{2}

inverz képének

C

-től való távolsága

\begin{matrix} C C_{2} = \frac{R^{2}}{d - \frac{r^{2}}{d}} = R^{2} \cdot \frac{d}{d^{2} - r^{2}} . \end{matrix}

(2)

Mivel pedig

O_{1}

és

C_{2}

k

és

g

centrálisán helyezkednek el, azért

C_{2} \equiv O_{1}

, ami bizonyítandó volt.
Végül abban az esetben, ha

g

kör, és

O

középpontja maga

C

, akkor

C

-nek nem létezik

g

-re vonatkozó inverz képe, s így

g'

középpontját a feladatban leírt módon nem kaphatjuk meg. Könnyű látni azonban, hogy ekkor az inverz kör középpontja maga

C

Göndőcs Ferenc, Martoni Viktor, Somorjai Gábor

Közöljük, hogy egy adományozó felkérésére Somorjai Gábornak és Göndőcs Ferencnek

50

‐

50

Ft jutalmat juttattunk el problémamegoldásaikért.

¹Lásd Surányi János ‐ Tusnády Gábor: Az inverzióról, K. M. L. 37 (1968) 97‐101. o.