|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.6 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Beck József , Fialovszky Alice , Göndőcs Ferenc , Maróti Péter , Martoni Viktor , Máté András , Pál Jenő , Somorjai Gábor , Váli László , Viszkei György |
Füzet: |
1969/március,
118 - 119. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Paraméteres egyenletek, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/október: Pontversenyen kívüli P.6 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a két egyenlet további gyöke , ill. . A gyökök és együtthatók összefüggése alapján , , tehát (1) első tagja | | (2) | Továbbá , , így a második tag:
(2) és (3) összege a bizonyítandó (1) azonosságot adja. Fialovszky Alice (Budapest, Patrona Hungariae Gimn.) Máté András (Budapest, Kölcsey F. Gimn.) II. megoldás. A fenti jelöléseket használva tekintsük a következő negyedfokú egyenletet: | | (4) | Az első két tényező szorzata: | | hasonlóan a további két tényező szorzata: | | Így (4) bal oldala alkalmas rendezéssel, alakítással:
A (4) egyenlet bal oldala tehát a helyen egyenlő (1) bal oldalával. Ezen a helyen azonban (4) első tényezője -val egyenlő, így az egész szorzat értéke . Állításunkat tehát bebizonyítottuk. Beck József (Budapest, I. István Gimn.) Megjegyzés. Ez a megoldás azt is mutatja, hogy ha az (1) egyenlőség fennáll, akkor van az első egyenletnek egy gyöke, amelyik a második egyenlet egy gyökének -szorosa. III. megoldás. Feltételeink szerint gyöke az első egyenletnek: és gyöke a második egyenletnek: Vonjuk le (5)-ből (6)-nak a -szeresét: és szorozzuk meg (6)-ot -nel: | | Írjuk be itt helyére (7) alapján a vele egyenlő -t:
innen összevonás után a bizonyítandó azonosságot kapjuk. Viszkei György (Budapest, Landler J. Gépip. Techn.) Megjegyzések. 1. Célhoz érünk úgy is, hogy (5)-nek -szereséből levonjuk (6)-nak -szorosát: Ekkor (7)-nek -szorosát levonva (8)-nak -szereséből: | | Ha itt , akkor is , tehát , s így (1) bal oldalán is áll; ha pedig a második tényező , az azonos (1) bal oldalával, így a feladat állítását igazoltuk. 2. Ajánljuk az érdeklődőknek, hozzák kapcsolatba a problémát az 1598. feladathoz fűzött 1. megjegyzés segédtételével: ,,ha az és az egyenleteknek van közös gyökük, akkor | |
K. M. L. 37 (1968) 137. o. |
|