Feladat: Pontversenyen kívüli P.5 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beck József ,  Galántai Aurél ,  Göndőcs Ferenc ,  Lukács Péter ,  Maróti Péter ,  Martoni Viktor ,  Somorjai Gábor ,  Soós Miklós ,  Váli László 
Füzet: 1969/március, 117 - 118. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Polinomok szorzattá alakítása, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/október: Pontversenyen kívüli P.5

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A polinom előállításában szereplő összeget a

6y2+5y-21=0
másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja alapján szorzattá alakíthatjuk. Ennek az egyenletnek a gyökei:
y1=32,y2=-73,
így az f(x) polinom szorzat-alakja:
f(x)=[2(x2+1)-3g(x)]⋅[3(x2+1)+7g(x)].(1)
Állításunkkal ellentétben tegyük fel, hogy van olyan egész x0, amelyre f(x0)=0. Ekkor a két tényező közül legalább az egyik értéke ugyancsak 0 volna az x0 helyen.
a) Ha az első tényező 0:
2(x02+1)-3g(x0)=0,
akkor x02+1 osztható volna 3-mal, hiszen g(x0) ‐ mint egész együtthatós polinom egész helyen felvett értéke ‐ egész szám. Ha belátjuk, hogy x02+1 egyetlen egész x0 mellett sem osztható 3-mal, akkor ellentmondásra jutunk. Valóban, x0-t 3-mal osztva a maradék vagy 0, vagy 1, vagy 2, ekkor pedig x02-et osztva 3-mal a maradék rendre 0, vagy 1, vagy 1, tehát x02+1-et 3-mal osztva a maradék 1 vagy 2.
b) Ha (1) második tényezője volna 0, x02+1 osztható lenne 7-tel. Hasonló módon kapjuk, hogy x0-t 7-tel osztva a maradék 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lehet, ekkor x02-t 7-tel osztva a maradék rendre 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1, és x02+1-et 7-tel osztva a maradék 1, 2, 5, 3, 3, 5, 2, tehát a maradék nem lehet 0. Így ismét ellentmondásra jutottunk, eredeti állításunkat tehát bebizonyítottuk.
 

 Maróti Péter (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn.)
 Martoni Viktor (Veszprém, Lovassy L. Gimn.)
 

Megjegyzés. Megmutatható,* hogy az x02+1 számnak csak 4k+1 alakú prímosztója lehet, akármilyen egész szám is x0.
*Lásd pl. Erdős P.-Surányi J.: Válogatott fejezetek a számelméletből, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960. 47‐48. o.