Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.4	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csirmaz László , Gönczi István , Somorjai Gábor , Soós Miklós , Váli László
Füzet:	1969/február, 74 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Numerikus és grafikus módszerek, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/szeptember: Pontversenyen kívüli P.4

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $N$ tetszőleges természetes szám, s jelöljük $S_{N}$ -nel az olyan, $N$ -nél kisebb természetes számok reciprokainak összegét, melyeknek tízes számrendszerbeli alakjában nem fordul elő a $7$ -es számjegy. Jelöljük $m$ -mel azt az egész számot, melyre teljesül a

\begin{matrix} 10^{m - 1} \leq N < 10^{m} \end{matrix}

egyenlőtlenség. Mivel minden összeadandó pozitív, azért fennáll

\begin{matrix} S_{N} < S_{10^{m}} . \end{matrix}

Legyen végül az

n

-jegyű,

7

-es jegyet nem tartalmazó számok reciprokainak összege

s_{n}

, így az előzők szerint

\begin{matrix} S_{N} \leq s_{1} + s_{2} + ... + s_{m} . \end{matrix}

n

-jegyű számok reciprokai nem nagyobbak, mint

\frac{1}{10^{n - 1}}

. Állapítsuk meg, hány

n

-jegyű szám jegyei között nincs

7

-es. Az első jegy nem lehet

0

sem, így ezt

8

-féleképpen, a további

n - 1

jegy mindegyikét

9

-féleképpen választhatjuk meg, tehát a vizsgált számok száma

8 \cdot 9^{n - 1}

, és így

\begin{matrix} s_{n} \leq 8 \cdot 9^{n - 1} \cdot \frac{1}{10^{n - 1}} = 8 {(\frac{9}{10})}^{n - 1}, \\ S_{N} \leq 8 [1 + \frac{9}{10} + {(\frac{9}{10})}^{2} + ... + {(\frac{9}{10})}^{m - 1}] = \\ = 8 \cdot \frac{1 - {(\frac{9}{10})}^{m}}{1 - \frac{9}{10}} = 80 [1 - {(\frac{9}{10})}^{m}] < 80. \end{matrix}

Eszerint

K = 80

megfelel a feladat követelményének.

Somorjai Gábor (Budapest, I. István Gimn.)

Megjegyzések. 1. Lényegesen kisebb felső korlátot kapunk, ha az ugyanannyi jeggyel írt és egyenlő első számjegyű számok reciprokát helyettesítjük a legkisebbjük reciprokával. Ha az

n

-jegyű

k

szám első jegye

b

, azaz

\begin{matrix} b \cdot 10^{n - 1} \leq k < (b + 1) \cdot 10^{n - 1} (\leq 10^{n}), \end{matrix}

(1)

akkor

\begin{matrix} \frac{1}{k} \leq \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{10^{n - 1}}, \end{matrix}

és az ilyen számok közül a ,,

7

'' jegyet nem tartalmazó számok száma

9^{n - 1}

, tehát

\begin{matrix} s_{n} \leq (1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9}) {(\frac{9}{10})}^{n - 1} = s_{1} {(\frac{9}{10})}^{n - 1} < 2, 69 \cdot {(\frac{9}{10})}^{n - 1} . \end{matrix}

Így

S_{N}

-re az

\begin{matrix} S_{N} \leq 2, 69 [1 + \frac{9}{10} + ... + {(\frac{9}{10})}^{m - 1}] < 26, 9 \end{matrix}

becslést kapjuk.

Váli László (Budapest, I. István Gimn.)

2. Hasonlóan finomíthatjuk tovább a becslést, ha pl. az első

2

jegyet vesszük tekintetbe, azonban az elvégzendő segédszámítások rohamosan nőnek.
3. Hasonló gondolatmenetekkel kaphatunk

S_{N}

-re alsó becslést is,

s_{n}

minden tagját a kisebb

1 / 10^{n}

-nel, ill.

(1)

alapján

1 / k

-t

1 / [(b + 1) 10^{n - 1}]

-nel helyettesítve. Az utóbbi alapján pl. az adódik, hogy ha

N

-et elég nagynak választjuk, akkor

S_{N}

18, 8

korlát felett lesz. Az első

2

jegyet tekintetbe véve pedig az adódik, hogy ha már

N

elég nagy, akkor

\begin{matrix} 22, 03 < S_{N} < 22, 9. \end{matrix}

4. Mindezek a meggondolások átvihetők minden lényegbeli változtatás nélkül arra az esetre, ha tetszőleges (

1

-nél nagyobb)

g

alapszámú számrendszerben felírt olyan természetes számok reciprokának összegét vizsgáljuk, amelyekben egy adott számjegy nem fordul elő.

Soós Miklós (Budapest, Fazekas M. Gyakorló Gimn.)

5.Gépi számítással

\begin{matrix} S_{9} = 2, 686 11 ..., S_{99} = 4, 701 65 ..., S_{999} = 6, 483 88 ..., S_{9999} = 8, 084 83 ... \end{matrix}