|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.2 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Birkner Lajos , Csirmaz László , Fialovszky Alice , Göndőcs Ferenc , Somorjai Gábor , Soós Miklós , Váli László , Váradi József |
Füzet: |
1969/február,
69 - 71. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Gyökös függvények, Egészrész, törtrész függvények, Különleges függvények, Függvényegyenletek, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/szeptember: Pontversenyen kívüli P.2 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Állítsuk elő értékét segítségével. | | és itt
Ezt felhasználva kapjuk, hogy Másrészt feltételünk szerint minden valós számra értelmezve van, valós értéket vesz fel, és | | emiatt , és Tehát a függvény periodikus, és a periódusa . (Természetesen -ként minden egész számú többszöröse is választható.) II. Legyen most . Ha , akkor ha pedig , akkor Ezek alapján válasszuk értékeit a következő módon: | | ahol egész szám (. ábra).
Könnyen látható, hogy a követelményeknek a következő függvény is eleget tesz (. ábra):
2. ábra Birkner Lajos (Budapest, Könyves Kálmán Gimn.) Soós Miklós (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.) Megjegyzés. A intervallumon értéke tetszőlegesen megadható, csak a már felhasznált , és az összefüggés értelmezhetőségét biztosító feltételeknek kell eleget tennie. Ha az helyhez az értéket rendeli hozzá a függvény, az helyen felvett függvényérték már egyértelműen meghatározott, nevezetesen A jobb oldal a függvénynek az helyen felvett értéke. Ennek a függvénynek a képe az , pont körüli, sugarú kör felső íve. Ezt ‐ ha már ismerjük grafikonját egy hosszúságú intervallumban ‐ felhasználhatjuk a grafikon pontjainak szerkesztésére a következő hosszúságú intervallumban miatt elég a félkörnek csak a jobb oldali felét megrajzolni, . ábra).
3. ábra Az függvényértéket átmásoljuk az tengelyre az origón átmenő, meredekségű egyenes segítségével, ugyanis a grafikon pontján átmenő, az tengellyel párhuzamos egyenesnek -vel való metszéspontjához tartozó abszcissza is ; így -nak a abszcisszáján levő pontjához éppen az ordináta tartozik, tehát grafikonjának az abszcissza fölötti pontját kimetszhetjük az -on át az tengellyel párhuzamosan húzott egyenessel. Hasonlóan kaptuk az abszcissza fölötti pont ordinátáját -bő] kiindulva, az ábra egymás után szerkesztett , pontjai útján. Így a feladat állítása abból következik, hogy a négyszög négyzet ‐ hiszen szimmetrikus -re ‐, és ezért , azaz . |
|