Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.1	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csirmaz László , Fazekas Árpád , Filakovszky Alice , Gyöngy István , Göndőcs Ferenc , Krasznai András , Reviczky János , Simon Júlia , Somorjai Gábor , Váli László , Váradi József
Füzet:	1969/január, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Szorzat, hatvány számjegyei, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/szeptember: Pontversenyen kívüli P.1

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy $x$ legfeljebb 2 jegyű lehet. Legyen ugyanis $n$ -jegyű, vagyis

\begin{matrix} 10^{n - 1} \leq x < 10^{n}, \end{matrix}

ekkor, ha

n \geq 2

, megbecsülve (1) bal oldalát felülről, a jobbat alulról

\begin{matrix} 9^{n} \geq p (x) = x (x - 10) - 22 \geq 10^{n} (10^{n - 2} - 1) - 22, \end{matrix}

és ha

n > 2

, akkor a jobb oldal

10^{n}

-nél nagyobb, tehát nem állhat fenn az egyenlőtlenség.
Legyen mármost

x = 10 a + b

, akkor (1) jobb és bal oldalának különbsége így írható:

\begin{matrix} 100 a (a - 1) + 19 a b + b^{2} - 10 b - 22 = 100 a (a - 1) + 19 a b + {(b - 5)}^{2} - 47 = 0. \end{matrix}

Itt csak

a = 1

lehet, mert ha

a > 1

, akkor az első 3 tag összege 100-nál nagyobb, másrészt

a = 0

sem lehet, mert 47 nem négyzetszám.
Ha

a = 1

, (1)-ből a

\begin{matrix} b (b + 9) = 22 \end{matrix}

egyenlet adódik, amelynek egyetlen pozitív egész megoldása

b = 2

, tehát a keresett szám

x = 12

.
Göndőcs Ferenc (Győr, Révai M. Gimn.)

II. megoldás. Mivel (1) bal oldalán

p (x) \geq 0

, egyenletünknek csak azok között a számok között van megoldása, amelyekre a jobb oldal sem negatív:

\begin{matrix} x^{2} - 10 x - 22 \geq 0. \end{matrix}

Az egyenlőség az

\begin{matrix} x_{1} = \frac{10 - \sqrt[]{188}}{2} \approx - 1, 8; x_{2} = \frac{10 + \sqrt[]{188}}{2} \approx 11, 8 \end{matrix}

számokra teljesül, tehát egyenlőtlenségünk megoldása:

x \leq x_{1}

, és

x \geq x_{2}

. Mivel

x

természetes szám,

x \geq 12

. Az első érték,

x = 12

, megoldása egyenletünknek.
Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs. Ha

x \geq 13

akkor a jobb oldalon

\begin{matrix} x^{2} - 10 x - 22 = (x - 12) (x + 2) + 2 \geq (x + 2) + 2 > x, \end{matrix}

viszont

p (x) < x

. Valóban, ha

x

n

jegyű (

n \geq 2

), akkor

x = 10^{n - 1} A + B

, ahol

A

x

szám első jegye, és a többi (

n - 1

) jegy szorzata legfeljebb

9^{n - 1}

. Emiatt

\begin{matrix} p (x) \leq A \cdot 9^{n - 1} < 10^{n - 1} A + B = x . \end{matrix}

Tehát egyenletünk egyetlen megoldása

x = 12

Fazekas Árpád (Nyíregyháza, Vasvári P. Gimn.)
Gyöngy István (Budapest, Ságvári E. Gyak. Gimn.)