Kezdőlap


Feladat:	N.22	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Futó Gábor
Füzet:	1994/november, 444. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Egységgyökök, Szabályos sokszögek geometriája, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/február: N.22

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel $n$ pontot a komplex számsík egységkörén, jelölje ezeket $z_{1}, ..., z_{n}$ (tehát $| z_{i} | = 1$ , ha $1 \leq i \leq n$ ), és készitsük el ezek segítségével a $p (x) = (z - z_{1}) ... (z - z_{n})$ polinomot. Az egységkör bármely $z$ pontjának az adott pontoktól vett távolságainak szorzata:

\begin{matrix} | z - z_{1} | ... | z - z_{n} | = | (z - z_{1}) ... (z - z_{n}) | = | p (z) | . \end{matrix}

Ezért a feladatot általánosítja az alábbi
Állítás:

{max}_{}^{} | p (z) | \geq 2

mindig fennáll, és az egyenlőség pontosan akkor érvényes, ha a

z_{1}, ..., z_{n}

pontok egy szabályos

n

-szöget alkotnak.
Bizonyítás: Mindenekelőtt jegyezzük meg, hogy az állításban szereplő maximum létezik, hiszen a

{| p (z) | : | z | = 1} \subseteq R

értékkészlet a

[0,2 π]

intervallum folytonos képe.
A

z_{1}, ..., z_{n}

számokat az egységkörön egy alkalmas szöggel elforgatva elérhető, hogy

p

konstans tagja 1 legyen. Ez az elforgatás az állításban szereplő maximum értékét nem befolyásolja, és az elforgatott számok pontosan akkor alkotnak szabályos

n

-szöget, amikor az eredeti számok. Feltehetjük tehát, hogy

p

alakja

p (z) = z^{n} + q (z) + 1

, ahol

q

egy olyan legfeljebb

(n - 1)

-edfokú polinom, amelynek konstans tagja 0.
Ha

q

az azonosan 0 polinom, akkor világos, hogy

z_{1}, ..., z_{n}

számok (a

p

gyökei) egy szabályos

n

-szöget alkotnak, és a háromszög-egyenlőtlenség segítségével az is látszik, hogy a maximum 2. Tegyük fel, hogy

q

nem az azonosan 0 polinom; megmutatjuk, hogy ebben az esetben a maximum nagyobb, mint 2. Jelölje

e

az első

n

-edik egységgyököt, ekkor könnyen adódik, hogy

\begin{matrix} q (1) + q (e) + ... + q (e^{n - 1}) = 0. \end{matrix}

Mivel

q

-nak legfeljebb

n - 1

gyöke lehet, azért van olyan

0 \leq k \leq n - 1

, hogy

q (e^{k}) \neq 0

. Az ilyen

k

-k között kell lenni olyannak is, amelyre

q (e^{k})

valós része nemnegatív, mert különben az 1) összeg valós része negatív lenne. Ha most

0 \leq k \leq n - 1

olyan, hogy

q (e^{k}) \neq 0

és Re

q (e^{k}) \geq 0

, akkor

p (e^{k}) = p {(e^{k})}^{n} + q (e^{k}) + 1 = 2 + q (e^{k})

alapján a

p (e^{k})

pont a Re

z \geq 2

félsíknak a 2-től különböző pontja, vagyis távolsága az origótól nagyobb, mint 2. Mivel a kérdéses maximum nem kisebb ennél a távolságnál, állításunkat beláttuk.