A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Foglalkozzunk csak a esettel. ( vagy esetén a feladat értelmetlen.) Számozzuk a tábla sorait 0-tól -ig, oszlopait 0-tól -ig úgy, hogy a bal felső sarok legyen a mező. Tegyük fel továbbá, hogy a futó innen indul, tehát ez a mező világos színű. Nem nehéz észrevenni, hogy lépés után a futó helyzete csak az -nek -vel és -vel való osztási maradékától függ. Pontosabban, ha (mod ), ahol , akkor a futó a . oszlopban van, és jobbra vagy balra tart aszerint, hogy a -nek pozitív vagy negatív előjelet adtunk (azzal a megállapodással, hogy a 0-hoz pozitív, az -hez negatív előjelet társítunk; ezekben az esetekben ugyanis mindkét előjel ugyanazt a maradékosztályt határozza meg). Hasonlóan, ha (mod ), akol , akkor a futó a . sorban van, és lefelé vagy felfelé tart aszerint, hogy a -nek milyen előjelet adtunk (a 0-hoz pozitív, a -hez negatív előjelet társítva). A mező pontosan akkor világos, ha páros. Így a futó akkor és csak akkor járja be az összes világos mezőt, ha az egyenletnek minden szóba jövő párra van egészekből álló megoldása. (Megoldáson azt értjük, hogy a bal és a jobb oldalon az előjeleket alkalmasan választva fennáll az egyenlőség.) Mivel páros, azért az egyenletet, továbbra is az egészek között maradva, ilyen alakba írhatjuk: . Ha és relatív prímek, akkor az egyenlet persze mindig megoldható, függetlenül az előjelek választásától. Ha azonban -t 2-nek, -t 0-nak választjuk, akkor az is látható, hogy ez a feltétel valójában szükséges is a megoldás létezéséhez. Tehát a futó pontosan akkor járja be az összes világos színű mezőt a táblán, ha .
Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.) és Braun Gábor (Bp., Szent István Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján |
|