Kezdőlap


Feladat:	N.9	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Gyarmati Katalin , Hertz István
Füzet:	1994/április, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Geometriai egyenlőtlenségek, Súlyvonal, Szögfelező egyenes, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/november: N.9

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $f_{1}$ , ill. $f_{2}$ a háromszög $a$ , ill. $c$ oldalához tartozik, ekkor ismeretes, hogy

\begin{matrix} f_{1}^{2} = b c (1 - {(\frac{a}{b + c})}^{2}) = \frac{b c}{{(b + c)}^{2}} ({(b + c)}^{2} - a^{2}), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 2 f_{1} \leq \sqrt[]{{(b + c)}^{2} - a^{2}} \end{matrix}

következik. Hasonlóan

\begin{matrix} 2 f_{2} \leq \sqrt[]{{(a + b)}^{2} - c^{2}}, \end{matrix}

és azt is tudjuk, hogy

\begin{matrix} 2 s_{3} = \sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}, \end{matrix}

végső soron tehát elegendő a következőt bizonyítanunk:

\begin{matrix} \sqrt[]{{(b + c)}^{2} - a^{2}} + \sqrt[]{{(a + b)}^{2} - c^{2}} + \sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}} \leq \sqrt[]{3} (a + b + c), azaz \\ {[\sqrt[]{{(b + c)}^{2} - a^{2}} + \sqrt[]{{(a + b)}^{2} - c^{2}}]}^{2} \leq {[\sqrt[]{3} (a + b + c) - \sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}]}^{2} . \end{matrix}

(Az utolsó két egyenlőtlenség egyenértékű, hiszen ‐ amint az könnyen végigondolható ‐ a szögletes zárójelekben nemnegatív számok állnak.) A két oldalon a négyzetreemelést elvégezve, majd a kapott tagokat megfelelően átrendezve:

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{[{(b + c)}^{2} - a^{2}] [{(a + b)}^{2} - c^{2}]} + 2 \sqrt[]{3} (a + b + c) \sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}} \leq \\ \leq 5 a^{2} + 5 c^{2} + 4 a b + 4 b c + 6 a c, ill. \end{matrix}

\begin{matrix} 2 (a + b + c) [\sqrt[]{(b + c - a) (a + b - c)} + \sqrt[]{3} \sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}] \leq \\ \leq 5 a^{2} + 5 c^{2} + 4 a b + 4 b c + 6 a c . \end{matrix}

A bal oldali szögletes zárójelben lévő összeget felülről becsülhetjük a súlyozott számtani és négyzetes közép között fennálló egyenlőtlenség segítségével:

\begin{matrix} \sqrt[]{(b + c - a) (a + b - c)} + \sqrt[]{3} \sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}} = \sqrt[]{b^{2} - a^{2} + 2 a c - c^{2}} + \\ + 3 \sqrt[]{\frac{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}{3}} = 4 \frac{\sqrt[]{b^{2} - a^{2} + 2 a c - c^{2}} + 3 \sqrt[]{\frac{2 a^{2} + 2 c^{2} - b 2}{3}}}{4} \leq \\ \leq 4 \sqrt[]{\frac{b^{2} - a^{2} + 2 a c - c^{2} - 3 \frac{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}{3}}{4}} = 4 \sqrt[]{\frac{a^{2} + 2 a c + c^{2}}{4}} = 2 (a + c), \end{matrix}

vagyis elegendő a következőt belátnunk:

\begin{matrix} 2 (a + b + c) \cdot 2 (a + c) \leq 5 a^{2} + 5 c^{2} + 4 a b + 4 b c + 6 a c . \end{matrix}

Ennek átrendezése viszont a nyilvánvaló

\begin{matrix} 0 \leq a^{2} - 2 a c + c^{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget adja. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzés. A levezetésből az is kiderül, hogy egyenlőség pontosan

a = b = c

esetén, azaz szabályos háromszögnél áll fenn.