Kezdőlap


Feladat:	N.5	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Hertz István , Németh Ákos
Füzet:	1994/április, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Függvények folytonossága, Maradékos osztás, kongruenciák, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: N.5

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $f (x)$ az $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ polinomot, ekkor $f (2 / 3) < 0 < f (0)$ , és Bolzano tétele alapján $f$ -nek van egy $α_{2}$ gyöke a $(0; 2 / 3)$ intervallumban. Nyilván $f (x) - f (- x) = 2 x^{3}$ , vagyis $f (- α_{2}) < 0 < f (0)$ , tehát ismét Bolzano tétele miatt $f$ -nek van egy $α_{1}$ gyöke a $(- α_{2}; 0)$ intervallumban. Végezetül $f (2) < 0 < f (3)$ , és Bolzano tétele alapján $f$ -nek van egy $α_{3}$ gyöke a $(2; 3)$ intervallumban. Így azt kaptuk, hogy $f$ -nek három valós gyöke van: $α_{1} < α_{2} < α_{3}$ , tehát $α = α_{3}$ . Jelöljük $S_{n}$ -nel a gyökök $n$ -edik hatványösszegét ( $n$ nemnegatív egész), azaz

\begin{matrix} S_{n} = α_{1}^{n} + α_{2}^{n} + α_{3}^{n} . \end{matrix}

Nyilván

s_{0} = 3

. A harmadfokú polinomokra vonatkozó Vita-formulák szerint

\begin{matrix} α_{1} + α_{2} + α_{3} = 3 és α_{1} α_{2} + α_{2} α_{3} + α_{3} α_{1} = 0, \end{matrix}

ezek alapján könnyen kapjuk, hogy

s_{1} = 3

, és

s_{2} = 9

. Tetszőleges

n \geq 3

egész mellett érvényes az

S_{n}

\sum

α_{i}^{n}

\sum

α_{i}^{n - 3}

α_{i}^{3}

\sum

α_{i}^{n - 3}

α_{i}^{2}

-1 ) =
=

\sum

α_{i}^{n - 1}

α_{i}^{n - 3}

= 3

s_{n - 1}

s_{n - 3}

összefüggés, amiből azonnal következik, hogy az

s_{n}

-ek mind egészek. Tudjuk, hogy

| α_{1} | < | α_{2} | < 2 / 3, α_{1} < 0 < α_{2}

, vagyis minden

n \geq 2

egészre

\begin{matrix} α^{n} < s_{n} < α^{n} + 2 \cdot {(2 / 3)}^{n} < α^{n} + 1, azaz \end{matrix}

\begin{matrix} s_{n} - 1 < α^{n} < s_{n}, illetve \end{matrix}

\begin{matrix} [α^{n}] = s_{n} - 1, hiszen s_{n} egész . \end{matrix}

Mindezek alapján a bizonyítandó összefüggés egyenértékű a

\begin{matrix} s_{1993} \equiv 5 (mod 17) \end{matrix}

állítással. (1) szerint

s_{0,1,2}

-ből kiindulva sorra meghatározhatjuk az

s_{n} (m o d 17)

maradékait. Kis számolással kapjuk, hogy

\begin{matrix} s_{3} \equiv 7, s_{4} \equiv 1, s_{5} \equiv - 6, s_{6} \equiv - 8, s_{7} \equiv - 8, s_{8} \equiv - 1, \end{matrix}

\begin{matrix} s_{9} \equiv 5, s_{10} \equiv 6, s_{11} \equiv 2, s_{1} 2 \equiv 1, s_{13} \equiv - 3, s_{14} \equiv 6, \end{matrix}

\begin{matrix} s_{15} \equiv 0, s_{16} \equiv 3, s_{17} \equiv 3, s_{18} \equiv 9 (mod 17) \end{matrix}

Az utolsó három kongruenciát másképpen írva

\begin{matrix} s_{16} \equiv s_{0}, s_{17} \equiv s_{1}, s_{18} \equiv s_{2}, (mod 17) \end{matrix}

összefüggést, ami azt jelenti, hogy

s_{n}

(mod 17) maradéka

n

(mod 16) maradékától függ. Mivel

1993 \equiv 9

(mod 16), azért

\begin{matrix} s_{1993} \equiv s_{9} \equiv 5 (mod 17), \end{matrix}

tehát (2)-t beláttuk.