Kezdőlap


Feladat:	N.4	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Csorba Zoltán , Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Gyarmati Katalin , Hertz István , Ivánka G. , Megyesi Zoltán , Mészáros Mariann , Németh Ákos , Németh Zoltán , Ódor Lajos , Perényi Márton , Pete Gábor , Séllei Béla , Szeidl Ádám , Szeredi Tibor , Szőke Katalin , Tóth Gábor Zsolt , Újváry-Menyhárt Mónika , Váczi Péter , Veres Tibor
Füzet:	1994/március, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/szeptember: N.4

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználjuk, hogy tetszőleges $P$ pont esetén $a x + b y + c z = 2 t$ ( $t$ az $A B C$ háromszög területe).
Írjuk fel a súlyozott számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget az $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ számokra az $a, b, c$ súlyokkal:

\begin{matrix} \frac{a \cdot \frac{1}{x} + b \cdot \frac{1}{y} + c \cdot \frac{1}{z}}{a + b + c} \geq \frac{a + b + c}{a x + b y + c z}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{2 t}, \end{matrix}

és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

\frac{1}{x} = \frac{1}{y} = \frac{1}{z}

, vagyis

x = y = z

.
Az

\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}

összeg tehát pontosan akkor minimális, ha

x = y = z

, azaz

P

a beírt kör középpontja.