Kezdőlap


Feladat:	N.3	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor , Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Dőtsch András , Elek Péter , Erdélyi László , Farkas Illés , Futó Gábor , Gyarmati Katalin , György András , Hertz István , Ivánka Gábor , Jurek Zoltán , Koblinger Egmont , Megyesi Zoltán , Németh Ákos , Németh Zoltán , Novák András , Pete Gábor , Sági Krisztián , Schmelczer József , Séllei Béla , Szeidl Ádám , Tóth Gábor Zsolt , Újváry-Menyhárt Mónika , Váczi Péter
Füzet:	1994/március, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Különleges függvények, Mértani sorozat, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/szeptember: N.3

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy az $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 4, ..., a_{n} = 2^{n - 1}$ választás minden $α$ -ra megfelelő. Az $1 \leq a_{1} < a_{2} < ... < a_{n} \leq 2^{n - 1}$ feltétel teljesül, elég (1)-et igazolnunk.
Tekintsük az $α a_{1}, α^{2} a_{2}, ..., α^{n} a_{n}$ sorozatot. Mivel minden $1 \leq k \leq n$ -re $α^{k} a_{k} = 2^{k - 1} α^{k}$ , ez egy mértani sorozat, amelynek elemei pozitívak, első eleme $α a_{1} = α$ , hányadosa pedig $2 α$ . Most két részre bontjuk a bizonyítást aszerint, hogy ez a hányados nagyobb 1-nél, illetve kisebb 1-nél.
I. Ha $2 α > 1$ , akkor a sorozat szigorúan monoton nő:

\begin{matrix} α a_{1} < α^{2} a_{2} < ... < α^{n} a_{n} . \end{matrix}

Mivel az egészrész-függvény monoton nő, ebből következik, hogy

\begin{matrix} [α a_{1}] < [α^{2} a_{2}] < ... < [α^{n} a_{n}] . \end{matrix}

Ebben az esetben tehát állításunk igaz.
II. Ha

2 α \leq 1

, akkor a sorozat monoton fogy:

\begin{matrix} α a_{1} \geq α^{2} a_{2} \geq ... \geq α^{n} a_{n} . \end{matrix}

Viszont tudjuk, hogy

α a_{1} = α < 1

(sőt, a feltételünk szernit

α \leq \frac{1}{2}

), ezért a sorozat minden eleme 0 és 1 közé esik, következésképpen

\begin{matrix} [α a_{1}] = [α^{2} a_{2}] = ... = [α^{n} a_{n}] = 0. \end{matrix}

Az (1) feltétel tehát ebben az esetben is teljesül.