Kezdőlap


Feladat:	Gy.2907	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baumgartner Klaudia , Bozsaky Tamás , Braun Gábor , Deli Tamás , Diósy Tamás , Gyukics Mihály , Hajdú Gábor , Hajdú Viktória , Lascsik Lívia , Marschalek Csaba , Muth Lóránt , Nagy Andrea , Németh Balázs , Nyakas Péter , Pap Gábor , Pap Gyula , Perényi Márton , Sneider Zoltán , Szabó Jácint , Tóth Gábor Zsolt , Várnai Ágnes , Völgyi István , Vörös Zoltán , Zakariás Ildikó
Füzet:	1994/december, 490. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Konstruktív megoldási módszer, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: Gy.2907

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Állítsunk az $A B C$ háromszög $B$ csúcsában merőlegest a $B C$ oldalegyenesre, és vegyük fel ezen a merőlegesen a $D$ pontot úgy, hogy $A$ és $D$ a $B C$ -nek ugyanazon az oldalán legyen, és $B D = 2 m_{a}$ teljesüljön. Jelöljük $B D$ felezőpontját $F$ -fel.
Ekkor $F A ∥ B C$ , tehát az $F A B$ és a $F A D$ háromszögek egybevágóak, vagyis $A D = c$ . A $D B C$ derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint:

\begin{matrix} a^{2} + {(2 m_{a})}^{2} = D C^{2} . \end{matrix}

D C \leq D A + A C = c + b

, ezért

\begin{matrix} a^{2} + 4 m_{a}^{2} \leq {(b + c)}^{2} . \end{matrix}

Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Szabó Jácint (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. A megoldásból látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor van, ha

A

rajta van a

D C

egyenesen, vagyis ha az

A B C

háromszög egyenlő szárú (

b = c