A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a csúcshoz tartozó magasság- és súlyvonal talppontja és , a háromszög köré írt kör középpontja pedig . Az és csúcsnál lévő szögek hegyesszögek, mert a -hez tartozó magasságvonal a háromszög belsejében halad. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy ( esetén a magasság- és a súlyvonal egybeesne), amiből következik. A feladat állítása szerint , másrészt (ha a , illetve egyeneseknek a körülírt körrel való második metszéspontja , illetve , akkor Thalész tétele miatt , vagyis , tehát a körülírt kör és ívei egyenlők, ezért a hozzájuk tartozó kerületi szögek is egyenlők), vagyis a , és pontok egy egyenesen vannak. De rajta van az -re -ben állított merőlegesen, amin miatt nincs rajta, ezért egybeesik -fel. Ekkor viszont Thalész tétele miatt , ezért . Tehát a feladat feltételeinek csak a és -os hegyesszögekkel rendelkező derékszögű háromszög felelhet meg, és könnyen láthetó, hogy az valóban jó is. Azaz a kérdéses háromszögben az oldalak aránya .
Kovács Baldvin (Fazekas, M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) |
|