Kezdőlap


Feladat:	Gy.2903	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Sándor , Bauer Péter , Elek Péter , Matuz Mária , Pap Gyula , Tóth Gábor Zsolt , Vörös Zoltán
Füzet:	1994/december, 488 - 489. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/március: Gy.2903

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk el $n$ -et maradékosan $m$ -mel:

\begin{matrix} n = k \cdot m + a, ahol k és a nemnegatív egészek, a < m . \end{matrix}

A bizonyítandó egyenlőség bal oldalát

A

-val jelölve, így írható föl:

\begin{matrix} A & = [\frac{n}{m}] + [\frac{n + 1}{m}] + ... + [\frac{n + m - 1}{m}] = \\ = [\frac{k m + a}{m}] + [\frac{k m + a + 1}{m}] + ... + [\frac{k m + a + m - 1}{m}] . \end{matrix}

a \geq 1

esetben

\begin{matrix} A & = {\underset{︸}{[\frac{k m + a}{m}] + ... + [\frac{k m + a + m - a - 1}{m}]}}_{m - a darab; értékük k}^{} + {\underset{︸}{[\frac{k m + a + m - a}{m}] + ... + [\frac{k m + a + m - 1}{m}]}}_{a darab; értékük k + 1}^{} = \\ = (m - a) k + a (k + 1) = m k - a k + a k + a = m k + a = n . \end{matrix}

a = 0

esetben pedig

\begin{matrix} A = {\underset{︸}{[\frac{k m}{m}] + [\frac{k m + 1}{m}] + ... + [\frac{k m + m - 1}{m}]}}_{m darab; értékük k}^{} = m \cdot k = n . \end{matrix}

Ezzel az állítást igazoltuk.