A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az és az legnagyobb közös osztóját -vel. Mivel és , azért is fennáll, azaz . Ha -nek és -nak lenne 1-nél nagyobb közös osztója, mondjuk , akkor és miatt , ekkor viszont , teljesülne, ami ellentmondana annak, hogy és relatív prímek. Ugyanígy látható be, hogy és legnagyobb közös osztója is 1. A oszthatóság azt jelenti, hogy minden prímtényezője legalább akkora kitevővel szerepel -ben, mint -ben. Azonban sem -nek és -nak, sem -nek és -nek nincs közös prímtényezője, így csak az lehetséges, hogy , azaz vagy 2, s éppen ezt kellett bizonyítani. A eset akkor áll fönn, ha és is páratlan. Megjegyzés. Viszonylag egyszerűen igazolható az az általánosabb állítás is, hogy ugyanezen feltételek mellett az és legnagyobb közös osztója is 1 vagy 2. Itt a
| |
összefüggést használjuk, amiből
Az előzőekben látottak alapján ez csak úgy lehet, hogy
E gondolatmenettel eljutunk oda, hogy
s ebből már tudjuk, hogy csak a vagy 2 eset állhat fönn.
Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján |
|