Jelöljük az $a+b$ és az $a^2+b^2$ legnagyobb közös osztóját $d$-vel. Mivel $d\mid a+b$ és $d\mid a^2+b^2$, azért $d\mid \left({\left(a+b\right)}^2-a^2-b^2\right)$ is fennáll, azaz $d\mid 2ab$.
Ha $d$-nek és $a$-nak lenne 1-nél nagyobb közös osztója, mondjuk $m$, akkor $m\mid d$ és $d\mid a+b$ miatt $m\mid a+b$, ekkor viszont $m\mid a$, $m\mid a+b-a$ teljesülne, ami ellentmondana annak, hogy $a$ és $b$ relatív prímek. Ugyanígy látható be, hogy $d$ és $b$ legnagyobb közös osztója is 1.
A $d\mid 2ab$ oszthatóság azt jelenti, hogy $d$ minden prímtényezője legalább akkora kitevővel szerepel $2ab$-ben, mint $d$-ben. Azonban sem $d$-nek és $a$-nak, sem $d$-nek és $b$-nek nincs közös prímtényezője, így csak az lehetséges, hogy $d\mid 2$, azaz $d=1$ vagy 2, s éppen ezt kellett bizonyítani. A $d=2$ eset akkor áll fönn, ha $a$ és $b$ is páratlan.
Megjegyzés. Viszonylag egyszerűen igazolható az az általánosabb állítás is, hogy ugyanezen feltételek mellett az $a+b$ és $a^{2k}+b^{2k}$ legnagyobb közös osztója is 1 vagy 2. Itt a