A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Definiáljuk a ,,gázló'' fogalmát: a gázló a folyó két partját összekötő, a folyásirányra merőleges szakasz, amely nem megy át szigeten. (Tehát egy gázlón 100 méter evezéssel át lehet jutni a túlpartra ‐ itt és a továbbiakban is persze azzal a feltevéssel élünk, hogy a csónaknak nincs kiterjedése.) Tekintsük azt a pontot, ahol Gábor áll. Ha ettől 200 m-en belül található gázló, akkor odáig elevezne, majd ott merőlegesen átkelve, Gábor legfeljebb 300 m evezéssel átjutott a túlpartra. Tegyük föl, hogy ilyen gázló nem létezik. Ekkor a part mentén több, mint 400 m összhosszúságban összefüggően szigetek húzódnának. Mivel ezeknek két oldala lenne (szélesség nélküli szigetet nem megengedve), így összkerületük nagyobb lenne 800 m-nél, ez ellentmondás. (A szigetek esetleges végpontjai, ahol egymással érintkeznek, gondot okozhatnának, azonban véges sok szigetet feltételezve, s mivel ezek az érintkezések valóban pontok, azért összhosszúságuk nulla.) Gábor tehát igazat állított.
Lolbert Tamás (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján |
Megjegyzés. Több ponton is további, a feladat eredeti szövegében meg nem található feltételezésekkel kellett élnünk, amelyek azonban eléggé kézenfekvőek és az ilyesféle feladatokban megszokottnak mondhatók. Fontos viszont arra rámutatni, hogy valóban szükségünk volt rájuk. a) Ha a csónaknak lenne kiterjedése, akkor egy elegendően kis keresztmetszetű, a csónak legkisebb méreténél közelebb felállított cölöpsorból álló ,,szigetcsoport'' megakadályozhatja az átkelést; méghozzá minden előre adott hosszúsághoz választhatunk olyan kicsi cölöpméretet, hogy a part mentén hosszúságban ne legyen olyan gázló, ahol a csónak át tudna haladni. b) Ha szélesség nélküli szigeteket is megengednénk, és hosszukat (s nem annak kétszeresét) tekintenénk kerületüknek, akkor egy 800 m hosszú ,,vonalsziget'' közepétől indulvan Gábor már csak 500 m evezéssel tudna átkelni. Más jellegű problémát okozna, ha megengednénk végtelen sok szigetet is: a hosszúság, kerület fogalmának definiálásával ütközhetnénk igen komoly nehézségekbe, ennek tárgyalása azonban túlmutat e feladaton. Ilyen jellegű kérdésekkel elsősorban a matematika mértékelmélet nevű ága foglalkozik.
|