Feladat: Gy.2888 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lolbert Tamás 
Füzet: 1994/október, 357 - 358. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Konstruktív megoldási módszer, Hossz, kerület, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/január: Gy.2888

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Definiáljuk a ,,gázló'' fogalmát: a gázló a folyó két partját összekötő, a folyásirányra merőleges szakasz, amely nem megy át szigeten. (Tehát egy gázlón 100 méter evezéssel át lehet jutni a túlpartra ‐ itt és a továbbiakban is persze azzal a feltevéssel élünk, hogy a csónaknak nincs kiterjedése.)
Tekintsük azt a pontot, ahol Gábor áll. Ha ettől 200 m-en belül található gázló, akkor odáig elevezne, majd ott merőlegesen átkelve, Gábor legfeljebb 300 m evezéssel átjutott a túlpartra. Tegyük föl, hogy ilyen gázló nem létezik. Ekkor a part mentén több, mint 400 m összhosszúságban összefüggően szigetek húzódnának. Mivel ezeknek két oldala lenne (szélesség nélküli szigetet nem megengedve), így összkerületük nagyobb lenne 800 m-nél, ez ellentmondás. (A szigetek esetleges végpontjai, ahol egymással érintkeznek, gondot okozhatnának, azonban véges sok szigetet feltételezve, s mivel ezek az érintkezések valóban pontok, azért összhosszúságuk nulla.) Gábor tehát igazat állított.

Lolbert Tamás (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Több ponton is további, a feladat eredeti szövegében meg nem található feltételezésekkel kellett élnünk, amelyek azonban eléggé kézenfekvőek és az ilyesféle feladatokban megszokottnak mondhatók. Fontos viszont arra rámutatni, hogy valóban szükségünk volt rájuk.
a) Ha a csónaknak lenne kiterjedése, akkor egy elegendően kis keresztmetszetű, a csónak legkisebb méreténél közelebb felállított cölöpsorból álló ,,szigetcsoport'' megakadályozhatja az átkelést; méghozzá minden előre adott d hosszúsághoz választhatunk olyan kicsi cölöpméretet, hogy a part mentén d hosszúságban ne legyen olyan gázló, ahol a csónak át tudna haladni.
b) Ha szélesség nélküli szigeteket is megengednénk, és hosszukat (s nem annak kétszeresét) tekintenénk kerületüknek, akkor egy 800 m hosszú ,,vonalsziget'' közepétől indulvan Gábor már csak 500 m evezéssel tudna átkelni.
Más jellegű problémát okozna, ha megengednénk végtelen sok szigetet is: a hosszúság, kerület fogalmának definiálásával ütközhetnénk igen komoly nehézségekbe, ennek tárgyalása azonban túlmutat e feladaton. Ilyen jellegű kérdésekkel elsősorban a matematika mértékelmélet nevű ága foglalkozik.