Kezdőlap


Feladat:	Gy.2887	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Elek Péter , Hegyi Barnabás , Pap Gyula , Szabó Dénes , Szobonya László , Tóth Gábor Zsolt , Vörös Zoltán
Füzet:	1994/október, 356 - 357. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/január: Gy.2887

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Pozitív számokról van szó, tehát vonhatunk $n$ -edik gyököt:

\begin{matrix} \sqrt[n]{(1 + \frac{1}{a_{1}}) (1 + \frac{1}{a_{2}}) ... (1 + \frac{1}{a_{n}})} \geq n + 1. \end{matrix}

A bal oldalon az

(1 + 1 / a_{i}) (i = 1,2, ..., n)

számok mértani közepe áll, ami nagyobb vagy egyenlő, mint a harmonikus közepük:

\begin{matrix} \sqrt[n]{(1 + \frac{1}{a_{1}}) (1 + \frac{1}{a_{2}}) ... (1 + \frac{1}{a_{n}})} \geq \frac{n}{\frac{1}{1 + 1 / a_{1}} + \frac{1}{1 + 1 / a_{2}} + ... + \frac{1}{1 + 1 / a_{n}}} . \end{matrix}

Alakítsuk át az egyenlőtlenség jobb oldalát:

\begin{matrix} \frac{n}{\frac{1}{1 + 1 / a_{1}} + \frac{1}{1 + 1 / a_{2}} + ... + \frac{1}{1 + 1 / a_{n}}} = \frac{n}{\frac{a_{1}}{1 + a_{1}} + \frac{a_{2}}{1 + a_{2}} + ... + \frac{a_{n}}{1 + a_{n}}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{n}{\frac{a_{1} + 1}{1 + a_{1}} + \frac{a_{2} + 1}{1 + a_{2}} + ... + \frac{a_{n} + 1}{1 + a_{n}} - (\frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + ... + \frac{1}{1 + a_{n}})} = \frac{n}{n - (\frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + ... + \frac{1}{1 + a_{n}})} . \end{matrix}

(\frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + ... + \frac{1}{1 + a_{n}})

összeg becsülhető a számtani és harmoniukus közepek közti egyenlőtlenséggel:

\begin{matrix} \frac{n}{\frac{1}{1 + 1 / a_{1}} + \frac{1}{1 + 1 / a_{2}} + ... + \frac{1}{1 + 1 / a_{n}}} \leq \frac{a_{1} + 1 + a_{2} + 1 + ... + a_{n} + 1}{n} = \frac{n + 1}{n} \end{matrix}

(Itt felhasználtuk, hogy

a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = 1

.) Vagyis:

\begin{matrix} (\frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + ... + \frac{1}{1 + a_{n}}) \geq \frac{n^{2}}{n + 1} . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt[n]{(1 + \frac{1}{a_{1}}) (1 + \frac{1}{a_{2}}) ... (1 + \frac{1}{a_{n}})} & \geq \frac{n}{n - (\frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + ... + \frac{1}{1 + a_{n}})} \geq \\ \geq \frac{n}{n - \frac{n^{2}}{n + 1}} = \frac{n}{\frac{n^{2} + n - n^{2}}{n + 1}} = \frac{n}{\frac{n}{n + 1}} = n + 1. \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel igazoltuk az egyenlőtlenséget.