Kezdőlap


Feladat:	Gy.2880	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Braun Gábor , Burcsi Péter , Homoki I. , Pap Gyula
Füzet:	1994/október, 355 - 356. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/december: Gy.2880

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $x$ és $y$ pozitív számok, azért $x^{3} + y^{3}$ is pozitív, így szükségképpen $x > y$ . Nyilvánvaló, hogy $x^{3} + y^{3} > x^{3} - y^{3}$ ; a jobb oldalt szorzattá alakítva, a bal oldalon pedig a feltételt alkalmazva:

\begin{matrix} x - y > (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) . \end{matrix}

x - y

pozitív, ezért leosztáskor az egyenlőtlenség iránya nem változik:

\begin{matrix} 1 > x^{2} + x y + y^{2}, \end{matrix}

s minthogy

x > 0

y > 0

, így

x y > 0

, tehát

\begin{matrix} 1 > x^{2} + y^{2}, \end{matrix}

ami a bizonyítandó állítás.

Homoki István (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Az állítás nem élesíthatő, azaz tetszőleges

ε > 0

esetén megadható olyan

x, z > 0

, hogy (az eredeti feltételek teljesülése mellett)

\begin{matrix} 1 - ε < x^{2} + y^{2} < 1. \end{matrix}

Például az

x = \sqrt[]{1 - ε}

választás (

ε < 1

) megfelelő. Az egyenletet rendezve

\begin{matrix} y^{3} + y = - x^{3} + x = \sqrt[]{1 - ε} (1 - 1 + ε) = ε \sqrt[]{1 - ε} . \end{matrix}

Az egyenletben

y = 0

esetén

\begin{matrix} y^{3} + y = 0 < ε \sqrt[]{1 - ε}, \end{matrix}

viszont

y = \sqrt[]{ε}

esetén

\begin{matrix} y^{3} + y = \sqrt[]{ε} (1 + ε) > \sqrt[]{ε + ε^{3}} > \sqrt[]{ε^{2}} > \sqrt[]{ε^{2} - ε^{3}} = ε \sqrt[]{1 - ε}, \end{matrix}

azaz létezik a feltételeknek eleget tevő

y

(0; \sqrt[]{ε})

intervallumban, s ekkor

\begin{matrix} 1 > x^{2} + y^{2} > 1 - ε . \end{matrix}