Feladat: Gy.2874 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1994/szeptember, 305 - 306. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Egyéb szinezési problémák, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/november: Gy.2874

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Igen, ki lehet. Rajzoljunk a síkon egymással párhuzamos (,,vízszintes''), egymástól 32 távolságra felvátva piros és kék egyeneseket, majd az egyenesek által meghatározott (egyik szélükön nyílt, a másikon zárt) sávokat is színezzük felváltva pirosra és kékre.
Legyen ABC egy tetszőleges, egységnyi oldalú szabályos háromszög a síkon. Vetítsük a háromszög csúcsait egy olyan (,,függőleges'') e egyenesre, amely merőleges a sávhatárokra, legyenek a vetületek A',B' és C'. Feltehetjük, hogy a három pont közül

1. ábra
 

B' van középen (esetleg egybeesik C'-vel.) Az A-ból CC'-re állított merőleges talppontja legyen T,BC felezőpontja pedig F. Feltevésünk miatt ekkor AF≤AT≤AC. Így 32≤AT=A'C'≤1<1⋅32. Ez azt mutatja, hogy A' és C' különböző sávokban esnek, és e sávok szomszédosak vagy másodszomszédosak egymással. Az előbbi esetben A' és C' és így A és C különböző színűek. A második esetben megmutatjuk, hogy B az A-t és C-t tartalmazó sávok közös szomszéd-sávjában fekszik. Tegyük fel ugyanis, hogy B például ugyanabban a sávban van, mint C. Ekkor az ő közös sávjukban kell lennie F-nek is, de akkor a középső sávot átszelő AF szakasz hossza nagyobb lenne a sáv szélességénél, 32-nél. Ez ellentmondás, tehát B az A-val szomszédos sávban lévén, A-tól különböző színű.