|
Feladat: |
Gy.2869 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Farkas Illés , Fazekas Miklós , Hegedűs Márton , Héri Géza , Lolbert Tamás , Móricz Tamás , Németh Balázs , Németh Zoltán , Pap Gyula , Rozsnyai Ádám , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szőke Ervin , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek , Véber Miklós , Vörös Zoltán , Zakariás Ildikó |
Füzet: |
1994/május,
260 - 262. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Trigonometria, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/október: Gy.2869 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tükrözzük a háromszöget felezőmerőlegesére. A tükrözésnél és felcserélődik, képe pedig egy -vel jelölt pont lesz (1. ábra). A tükrözés miatt , és , továbbá
Tehát az és az háromszögek derékszögűek, így
| |
Vagyis
| |
Ezzel a feladat állítását beláttuk. II. megoldás. Az négyszög húrnégyszög, mert (2. ábra). , mert ugyanakkora ívhez tartozó kerületi szögek. Ekkor viszont , vagyis a négyszög átlói egymásra merőlegesek, ezért a négyszög területe az átlók szorzatának a fele: . Ptolemaiosz tétele szerint (megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyüjteménye I. kötetének 1259. feladatában) egy húrnégyszög átlóinak szorzata megegyezik a szemközti oldalak szorzatának összegével, vagyis
Ez pedig éppen a bizonyítandó állítás.
Hegedűs Márton (Fazekas. M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) |
Megjegyzés. Mindkét megoldás során kihasználtuk, hogy az négyszög konvex. Bár a feladat szövegében ez kimondva nem szerepelt, a fogalmazásból úgy lehetett érteni, (,,az négyszögben az '' stb. szögekről, tehát a négyszög belsejében lévő szögekről szól a feladat). Ha a konvexitást nem tesszük fel, akkor az állítás nem igaz, pl. a 3. ábrán lévő pontok esetén (ezt az ábrát úgy kaptuk, hogy az 1. ábra pontját tükröztük a egyenesre) mind a négy szög a kívánt nagyságú, az négyszög területe viszont nyilván kisebb, mint .
|
|