Feladat: Gy.2869 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Farkas Illés ,  Fazekas Miklós ,  Hegedűs Márton ,  Héri Géza ,  Lolbert Tamás ,  Móricz Tamás ,  Németh Balázs ,  Németh Zoltán ,  Pap Gyula ,  Rozsnyai Ádám ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Szőke Ervin ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Valkó Benedek ,  Véber Miklós ,  Vörös Zoltán ,  Zakariás Ildikó 
Füzet: 1994/május, 260 - 262. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Trigonometria, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/október: Gy.2869

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tükrözzük a BCD háromszöget BD felezőmerőlegesére. A tükrözésnél B és D felcserélődik, C képe pedig egy C'-vel jelölt pont lesz (1. ábra). A tükrözés miatt CD=C'B, CB=C'D és TABCD=TABC'D, továbbá

ADC'=ADB+BDC'=ADB+DBC=30+60=90ésABC'=ABD+DBC'=ABD+BDC=20+70=90.

Tehát az ABC' és az ADC' háromszögek derékszögűek, így
TABC'=12ABBC'=12ABCD  és  TADC'=12ADDC'=12ADCB.

Vagyis
TABCD=TABC'D=TABC'+TADC'=12(ABCD+ADDB).

Ezzel a feladat állítását beláttuk.
II. megoldás. Az ABCD négyszög húrnégyszög, mert ABC+ADC=ABD+DBC+ADB+BDC=20+60+30+70=180 (2. ábra). CAD=CBD=60, mert ugyanakkora ívhez tartozó kerületi szögek. Ekkor viszont CAD+ADB=60+60=90, vagyis a négyszög átlói egymásra merőlegesek, ezért a négyszög területe az átlók szorzatának a fele: TABCD=12ACBD.
Ptolemaiosz tétele szerint (megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyüjteménye I. kötetének 1259. feladatában) egy húrnégyszög átlóinak szorzata megegyezik a szemközti oldalak szorzatának összegével, vagyis
TABCD=12(ABCD+ADBC).

Ez pedig éppen a bizonyítandó állítás.
Hegedűs Márton (Fazekas. M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Mindkét megoldás során kihasználtuk, hogy az ABCD négyszög konvex. Bár a feladat szövegében ez kimondva nem szerepelt, a fogalmazásból úgy lehetett érteni, (,,az ABCD négyszögben az ABD'' stb. szögekről, tehát a négyszög belsejében lévő szögekről szól a feladat). Ha a konvexitást nem tesszük fel, akkor az állítás nem igaz, pl. a 3. ábrán lévő A,B,C,D pontok esetén (ezt az ábrát úgy kaptuk, hogy az 1. ábra A pontját tükröztük a BD egyenesre) mind a négy szög a kívánt nagyságú, az ABCD négyszög területe viszont nyilván kisebb, mint 12(ABCD+ADBC).