Kezdőlap


Feladat:	Gy.2868	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss László , Makai Márton
Füzet:	1994/április, 195. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: Gy.2868

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyszög csúcsait az ábrán látható módon $A, B, C, D$ -vel, az $A B$ oldal felezőpontja legyen $E$ , a $C D$ oldalé pedig $F$ . Az $E F$ középvonal felezi a négyszög területét. Az $A$ -ból és $B$ -ből a $C D$ egyenesre bocsátott merőlegesek talppontjai legyenek $K$ , illetve $L$ , az $F$ -ből $A B$ -re bocsátott merőleges talppontja pedig $M$ . Megmutatjuk, hogy $A K = B L$ , amiből a feladatunk állítása nyilvánvalóan következik.

ábra

Mivel

E F

felezi az

A B C D

négyszög területét, azért

\begin{matrix} T_{A E F D} = T_{A E F} + T_{A F D} = T_{B E F} + T_{B F C} = T_{B E F C} . \end{matrix}

A háromszögek területét az oldalukkal és magasságukkal kifejezve:

\begin{matrix} \frac{1}{2} A E \cdot F M + \frac{1}{2} D F \cdot A K = \frac{1}{2} B E \cdot F M + \frac{1}{2} \cdot F C \cdot B L . \end{matrix}

Mivel

A E = B E

és

F D = F C

, azért ebből az egyenlőségből

A K = B L

következik.
Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Megjegyzés. A bizonyítás során nem használtuk fel, hogy a középvonal átmegy az átlók metszéspontján.

Makai Márton (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján