Kezdőlap


Feladat:	Gy.2867	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elek Péter , Gyukics Mihály , Kiss László , Kovács Baldvin , Orbán András , Rozmán András , Sztranyák Attila , Tóth Gábor Zsolt
Füzet:	1994/április, 194 - 195. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Terület, felszín, Húrsokszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: Gy.2867

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hatszög körbe írt, tehát konvex. Húzzunk az $A$ , $C$ és $E$ csúcsokon át párhuzamosokat az $E F$ és $B C, A B$ és $E D$ , illetve $A F$ és $C D$ oldalegyenesekkel. E három egyenes páronkénti metszésponjai a konvexitás miatt az $A C E$ háromszög belső pontjai lesznek. Jelöljük a metszéspontokat az ábrán látható módon $B', D',$ és $F'$ -vel.

A egyenesek párhuzamossága miatt $A E F △ ≅ A E F' △$ , $A B C △ ≅ A B' C △$ és $C D E △ ≅ C D' △$ . Ezért az $A B C D E F$ hatszög $T$ területe:

\begin{matrix} T & = T_{A E F} + T_{A E F'} + E_{A B C} + T_{A B' C} + T_{C D E} + T_{C D' E} + T_{B' D' F'} = \\ = 2 T_{A E F'} + 2 T_{A B' C} + 2 T_{C D' E} + T_{B' D' F'} = 2 T_{A C E} - T_{B' D' F'} . \end{matrix}

Feltételünk szerint

T = 2 T_{A C E}

, vagyis

T_{B' D' F'} = 0,

tehát a

B', D'

és

F'

pontok egybeesnek. Ez azt jelenti, hogy

A F' = A B'

, így az említett egybevágó háromszögek miatt

E F = A F' = A B' = B C

, és ugyanígy

A B = E D

, valamint

A F = C D

.

Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Megjegyzés. A megoldás során nem használtuk ki, hogy a hatszög körbe írható, csak azt, hogy konvex.

Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján

A beküldők közül sokan akár a párhuzamosok behúzásával, akár a tükrözéssel létrejött

B', D'

és

F'

pontokat indokolatlanul eleve egyetlen pontnak tekintették, ezért lett sok hibás dolgozat.