Feladat: Gy.2866 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Elek Péter ,  Gyukics Mihály ,  Lestyán Zsolt ,  Orbán András ,  Róna Zsófia ,  Széles Zsolt ,  Ványolós Endre 
Füzet: 1994/április, 193 - 194. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Paralelogrammák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/október: Gy.2866

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel mindkét kör a paralelogramma 3 ‐ 3 oldalát érinti, azért van legalább 2 oldal, amelyet mindkét kör érint. Ez a 2 oldal a két kör közös érintője, sőt közös külső érintője, mert a két kör a paralelogramma belsejében van. A körök sugara egyenlő, tehát a két érintő párhuzamos, azaz a két oldal a paralelogramma két szemközti oldala. A körök egymást csak kívülről érinthetik, ezért a két kör csak az ábrán látható módón helyezkedhet el a paralelogrammában.

1. ábra

Használjuk az ábra jelöléseit. Legyen DDC=3, a DDCO1 derékszögű háromszög átfogója Pitagorasz tétetele alapján (3)2+12=2, tehát ez a háromszög éppen egy szabályos háromszög felével egybevágó, azaz O1DDC∢=30∘. A DO1 egyenes az ADC szög szögfelezője, tehát ADC∢=60∘. A paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180∘, ezért DCB∢=180∘-ADC∢=120∘. Az O2C egyenes felezi a DCB szöget, vagyis az O2CCD derékszögű háromszög O2CCD szöge 60∘, tehát ez a háromszög is egybevágó egy szabályos háromszög felével. Ezért CDC=33. A DCO1O2CD négyszög téglalap, tehát DCCD=O1O2=2, vagyis a paralelogramma DC oldalának hossza
DC=DDC+DCCD+CDC=3+2+33=6+433.
A paralelogramma DC oldalához tartozó magassága DCAB=2, tehát a keresett terület 6+433⋅2=12+833≈8,62 területegység.
Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján