Kezdőlap


Feladat:	Gy.2862	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Makai Márton , Törös Attila
Füzet:	1994/április, 190 - 191. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenletek, Gyökös függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/október: Gy.2862

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy az egyenletben szereplő kifejezések értelmesek legyenek, a következő feltételek szükségesek:

\begin{matrix} a, b, c, a - b + c \geq 0. \end{matrix}

Alakítsuk át ezek után az egyenletet. Négyzetre emelve

\begin{matrix} a - b + c = a + b + c + 2 \sqrt[]{a c} - 2 \sqrt[]{a b} - 2 \sqrt[]{b c}, \end{matrix}

rendezve

\begin{matrix} 0 = b + \sqrt[]{a c} - \sqrt[]{a b} - \sqrt[]{b c}, \end{matrix}

szorzattá alakítva

\begin{matrix} 0 = (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{a}) (\sqrt[]{b} - \sqrt[]{c}) . \end{matrix}

Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{b} = \sqrt[]{a} vagy \sqrt[]{b} = \sqrt[]{c}, \end{matrix}

tehát

b = a

vagy

b = c

.

Lépéseink során megoldást nem vesztettünk, azonban átalakításaink nem feltétlenünk voltak ekvivalensek; így a kapott eredményt ellenőrízni kell. Egyszerűen látszik azonban, hogy kezdeti feltevéseink mellett akár

b = a

, akár

b = c

áll fönn, az egyenlet teljesül (az

a - b + c \geq 0

feltétel

b = a

-ból és

b = c

-ből egyaránt következik). Tehát a megoldások:

\begin{matrix} a = b \geq 0, c \geq 0 vagy a \geq 0, b = c \geq 0. \end{matrix}

Törös Attila (Tata, Eötvös J. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján