Kezdőlap


Feladat:	Gy.2850	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Katalin , Németh Zoltán , Pap Gyula , Révai András , Szobonya László , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek , Verbőczy Zsolt
Füzet:	1994/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Körülírt kör, Beírt kör, Terület, felszín, Heron-képlet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/május: Gy.2850

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A Heron-féle területképlet szerint

\begin{matrix} T^{2} = \frac{1}{16} (a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (- a + b + c) . \end{matrix}

(1)

Most tekintsük a következő egyenlőtlenségeket:

\begin{matrix} \begin{matrix} (a - b + c) (a + b - c) & = & a^{2} - {(b - c)}^{2} \leq a^{2}, \\ (- a + b + c) (a + b - c) & = & b^{2} - {(a - c)}^{2} \leq b^{2}, \\ (- a + b + c) (a - b + c) & = & c^{2} - {(a - b)}^{2} \leq c^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

(2)

Ezeket összeszorozva kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(a + b - c)}^{2} {(a - b + c)}^{2} {(- a + b + c)}^{2} \leq a^{2} b^{2} c^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} (a + b - c) (a - b + c) (- a + b + c) \leq a b c, \end{matrix}

ebből az

(1)

felhasználásával éppen a bizonyítandó adódik.
A feladatban pontosan akkor áll fenn egyenlőség, amikor a

(2)

-ben egyenlőségek állnak, tehát ha

a = b = c

, vagyis a háromszög szabályos.

II. megoldás. Jelöljük a háromszög körülírt és beírt körének a sugarát

R

-rel, illetve

r

-rel. Ismert, hogy

a b c = 4 R T

és

a + b + c = 2 s = \frac{2 T}{r}

.
Ezek felhasználásával a jobb oldal így alakul:

\begin{matrix} \frac{a b c (a + b + c)}{16} = \frac{4 R T \cdot \frac{2 T}{r}}{16} = \frac{1}{2} T^{2} \cdot \frac{R}{r} . \end{matrix}

Tehát a feladat az

\begin{matrix} \frac{1}{2} T^{2} \cdot \frac{R}{r} \geq T^{2}, \end{matrix}

azaz az

R \geq 2 r

egyenlőtlenséggel ekvivalens, ami sugáregyenlőtlenség néven ismert. (Bizonyítása megtalálható Reiman István: Geometria és határterületei c. könyv 227. oldalán.)

Németh Zoltán (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. II. o. t.) dolgozata alapján