Kezdőlap


Feladat:	Gy.2849	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koblinger Egmont
Füzet:	1994/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/május: Gy.2849

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk $a_{1}$ darab $a_{1}$ -es számot, $a_{2}$ darab $a_{2}$ -est, $...$ , $a_{n}$ darab $a_{n}$ -est, tehát tekintsük a következő sorozatot:

\begin{matrix} {\underset{︸}{a_{1}, a_{1}, ..., a_{1}}}_{a_{1} db}^{}, {\underset{︸}{a_{2}, a_{2}, ..., a_{2}}}_{a_{2} db}^{}, ..., {\underset{︸}{a_{n}, a_{n}, ..., a_{n}}}_{a_{n} db}^{} . \end{matrix}

Ezeknek a számoknak a harmonikus közepe

\begin{matrix} H = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{{\underset{︸}{\frac{1}{a_{1}} + ... + \frac{1}{a_{1}}}}_{a_{1} darab}^{} + ... + {\underset{︸}{\frac{1}{a_{n}} + ... + \frac{1}{a_{n}}}}_{a_{n} darab}^{}} = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}, \end{matrix}

mértani közepe

\begin{matrix} G = \sqrt[a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}]{a_{1}^{a_{1}} \cdot a_{2}^{a_{2}} \cdot ... \cdot a_{n}^{a_{n}}}, \end{matrix}

számtani közepe

\begin{matrix} A = {{\underset{︸}{(a_{1} + ... + a_{1})}}_{a_{1} darab}^{} + ... + {\underset{︸}{(a_{n} + ... + a_{n})}}_{a_{n} darab}^{}} / (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) = \\ = \frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}} . \end{matrix}

Mivel az

a_{i}

-számok pozitívak, azért fennáll, hogy

H \leq G \leq A

. Ebbe a korábbi konkrét képleteket helyettesítve, majd ‐ pozitív számokról lévén szó ‐

(a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})

-edik hatványra emelve

\begin{matrix} {(\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{2})}^{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}} \leq \\ \leq a_{1}^{a_{1}} \cdot a_{2}^{a_{2}} \cdot ... \cdot a_{n}^{a_{n}} \leq \\ \leq {(\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}})}^{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}, \end{matrix}

vagyis éppen a bizonyítandó állítás adódik. Az eddigiekből az is megállaptható, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

\begin{matrix} a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} . \end{matrix}

Koblinger Egmont (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján