Kezdőlap


Feladat:	Gy.2848	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Koblinger Egmont
Füzet:	1993/november, 393 - 394. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/május: Gy.2848

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a_{0} = 1, a_{1} = 1 + x_{1}, a_{2} = 1 + x_{1} + x_{2}, ..., a_{n} = 1 + x_{1} + ... + x_{n} = 2.$ Így

\begin{matrix} s & = {max}_{}^{} (\frac{a_{1} - a_{0}}{a_{1}}, \frac{a_{2} - a_{1}}{a_{2}}, ..., \frac{a_{n} - a_{n - 1}}{a_{n}}) = {max}_{}^{} (1 - \frac{a_{0}}{a_{1}}, ...,1 - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}}) = \\ = 1 - {min}_{}^{} (\frac{a_{0}}{a_{1}}, ..., \frac{a_{n - 1}}{a_{n}}) . \end{matrix}

Mivel pozitív számokról van szó, azért a minimumuk nem nagyobb a mértani közepüknél, azaz

\begin{matrix} s \geq 1 - \sqrt[n]{\frac{a_{0}}{a_{1}} \cdot \frac{a_{1}}{a_{2}} \cdot ... \cdot \frac{a_{n - 1}}{a_{n}}} = 1 - \sqrt[n]{\frac{a_{0}}{a_{n}}} = 1 - \sqrt[n]{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} s \geq 1 - \sqrt[n]{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

Ezt az értéket viszont fel is veszi, méghozzá pontosan akkor, ha

\begin{matrix} \frac{a_{0}}{a_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{2}} = ... = \frac{a_{n - 1}}{a_{n}}, \end{matrix}

vagyis ha az

a_{i}

számok egy mértani sorozat egymást követő elemei. Az

a_{0} = 1, a_{n} = 2

választás miatt ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a_{0} = 1, a_{1} = \sqrt[n]{2}, a_{2} = \sqrt[n]{2^{2}}, ..., a_{n} = 2, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[n]{2} - 1, x_{2} = \sqrt[n]{2^{2}} - \sqrt[n]{2}, ..., x_{k} = \sqrt[n]{2^{k}} - \sqrt[n]{2^{k - 1}}, ..., x_{n} = 2 - \sqrt[n]{2^{n - 1}} . \end{matrix}

Ezzel a feladat mindkét kérdését megválaszoltuk.

Koblinger Egmont (Főv. Fazekas M. Gyak. Gimn. II. o. t.)
dolgozata alapján