Kezdőlap


Feladat:	Gy.2841	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Csörnyei Marianna , ifj. P. Tóth Béla , Koblinger Egmont , Németh Tibor , Németh Zoltán , Pete Gábor , Révai András , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szeredi Tibor , Tigyi István , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek
Füzet:	1993/november, 391 - 393. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/április: Gy.2841

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a számokat $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ , törtrészeiket pedig rendre $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ . Utóbbiak nyilván a $[0,1)$ intervallumba esnek, továbbá feltehető, hogy

\begin{matrix} a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n} . \end{matrix}

(1)

Legyen

l

a legkisebb olyan index, amelyre

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{l} > \frac{n + 1}{n} \end{matrix}

(2)

Ha ilyen index nem létezik, akkor a számokat lefelé gömbölyítjük; máskülönben az első

(l - 1)

-et lefelé, a többit fölfelé.
Nyilvánvaló, hogy néhány szám összege akkor tér el legjobban a gömbölyítettjeik összegétől, ha úgy választottuk meg őket, hogy ugyanabba az irányba vannak gömbölyítve, s az összes ilyen számot kiválasztottuk. Amennyiben tehát az előbbi tulajdonságú

l

index nem létezik, már készen is vagyunk, ugyanis

\begin{matrix} | \sum_{1}^{n} x_{i} - \sum_{1}^{n} (x_{i} - a_{i}) | = \sum_{1}^{n} a_{i} \leq \frac{n + 1}{4} . \end{matrix}

Egyébként pedig azt kell megmutatnunk, hogy a lefelé, valamint a fölfelé gömbölyített számokra teljesül a feltétel, azaz

\begin{matrix} | \sum_{1}^{l - 1} x_{i} - \sum_{1}^{l - 1} (x_{i} - a_{i}) | = \sum_{1}^{l - 1} a_{i} \leq \frac{n + 1}{4}, \end{matrix}

(3)

valamint

\begin{matrix} | \sum_{l}^{n} x_{i} - \sum_{l}^{n} (x_{i} + 1 - a_{i}) | = \sum_{l}^{n} (1 - a_{i}) \leq \frac{n + 1}{4} . \end{matrix}

(4)

Ebből (3) nyilvánvaló, tekintettel a (2) feltételre. Mindössze (4)-et kell igazolni. Azonban (1) és (2) miatt

\begin{matrix} \frac{n + 1}{4} < a_{1} + a_{2} + ... + a_{l} \leq l \cdot a_{l}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} \frac{n + 1}{4 l} < a_{l} \leq a_{l + 1} \leq ... \leq a_{n}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \sum_{l}^{n} (1 - a_{i}) \leq (n + 1 - l) (1 - a_{l}) < (n + 1 - l) (1 - \frac{n + 1}{4 l}) = & (5) \\ = \frac{n + 1 - l}{4 l} (4 l - n - 1) . \end{matrix}

(5) jobb oldala viszont legfeljebb

\frac{n + 1}{4}

, hiszen ekvivalens átalakításokkal

\begin{matrix} \frac{n + 1 - l}{4 l} (4 l - n - 1) & \leq \frac{n + 1}{4}, \\ (n + 1 - l) (4 l - n - 1) & \leq l (n + 1), \\ - {(n + 1)}^{2} + 4 l (n + 1) - 4 l^{2} & \leq 0, \\ - {(n + 1 - 2 l)}^{2} & \leq 0 \end{matrix}

adódik, ami igaz. Ezzel az állítást beláttuk. A korlátként szereplő

\frac{n + 1}{4}

általában nem javítható, amit az

\begin{matrix} n = 2 k + 1, x_{1} = x_{2} = ... = x_{n} = \frac{1}{2} \end{matrix}

választás mutat.