|
Feladat: |
Gy.2839 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Elek Péter , Hegedűs Márton , Hegedűs Viktor , Kiss Márton , Lolbert Tamás , Németh Tibor , Németh Zoltán , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Tóth Gábor Zsolt |
Füzet: |
1993/december,
512 - 514. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú diofantikus egyenletek, Osztók száma, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1993/április: Gy.2839 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vizsgáljuk általánosabban a kérdést: hány egész megoldása van az
egyenletnek, ha ahol egymástól különböző prímek. (A = 0 eset láthatóan érdektelen. A esetekben a megoldások: , , ill. , .) Az egyenlet bal oldalát szorzattá alakítva adódik, amiből látszik, hogy a keresendő megoldásokra teljesül. A számnak egész osztója van (ugyanis egy tetszőleges osztó alakú, ahol azaz a kitevő féleképpen választható, az előjel pedig kétféleképpen), vagyis az legfeljebb ennyiféle értéket vehet fel. Az értéke viszont már meghatározza értékét; legyenek ezek rendre és , ahonnan Amennyiben ezek egész számok, úgy az eredeti egyenlet megoldásaihoz jutottunk. A továbbiakban három esetet kell megkülönböztetni. 1. eset. páratlan. Ekkor, az előbbi jelöléseket használva, s így mind is egész szám. Minden osztóhoz találtunk tehát egy számpárt, különböző osztókhoz nyilván különbözőt, és ez az összes megoldás. Tehát ebben az esetben a megoldások száma:
| |
2. eset. k páros, de Ekkor a és számok közül pontosan az egyik lesz páros, a másik páratlan, vagyis nem egész szám. Így ebben az esetben nincs egész megoldás. 3. eset. Ilyenkor és egyike biztosan páros, így ahhoz hogy és egész legyen, a másik számnak is párosnak kell lennie. Azok a osztók szolgáltatnak tehát megoldást, amelyekre és is fennáll. Egy ilyen prímtényezős alakjában a kitevőjét -gyel jelölve, teljesül. (A feltétel értelmes, hiszen a feltevés miatt Ilyen -ből darab van, s mivel a többi prímtényező valamint az előjel már ‐ az előbbi határokon belül ‐ tetszőleges lehet, az ilyen osztók s egyben a megoldások száma
| | Nézzük meg végezetül, hogy az eredeti feladat számai mely esetekhez tartoznak. Az a 3. esetre példa, a megoldások száma tehát az az első esetbe tartozik megoldással; míg az szintén a 3. eset szerint megoldást ad.
Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn. I. o. t.) |
|