Feladat: Gy.2838 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1993/november, 389 - 390. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Logikai feladatok, Lineáris programozás, Egyenlőtlenség-rendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/április: Gy.2838

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk föl a (nyílt) pozitív félsíkot az ábra szerinti módon. (Sem az I, sem a II jelzésű rész nem tartalmazza saját határát.)

 
 

A továbbiakban az (x,y)→(x+1,y-1) típusú lépést kis lépésnek, míg a másikat nagynak nevezzük. Ha a kengurunak módjában áll egy nagy lépést megtenni, akkor utána biztosan tud öt kicsit lépni, melynek eredményeképpen az (x,y) pontból az (x,y+2) pontba juthat. Ezután ismét léphet nagyot: kezdetben ugyanis akkor léphetett ilyet, ha az x>5 fönnállt, és ez az új helyzetben is fennmaradt. Ilyen ciklusok segítségével tehát az origótól mért távolságát tetszőlegesen nagyra növelheti.
Tekintsük most az I jelzésű síkrészt. Ebbe azon (x,y) pontok tartoznak, amelyekre x+y>6. Ha x>5 is teljesül, akkor a leírt módon a kenguru tetszőlegesen messzire eljuthat. Ha x≤5, akkor néhány kis lépéssel elérhető, hogy 6≥x>5 legyen, s eközben y>0 marad. Innen pedig a már látott módon haladhat tovább.
A II. síkrészből viszont, ahol x+y<5 a pontok jellemzője, nem tud kijutni a kenguru: itt csak kicsit léphet, s egy kis lépés során a helykoordináták összege nem változik, vagyis 5-nél kisebb marad.
A vízszintes sávozású kis háromszögek közül a legalsó belsejében ismét teljesül az x>5, y>0 feltétel, így innen a kenguru tetszőlegesen messzire eljuthat. Ugyanez igaz a háromszög átlójának belső pontjaira is. A felső háromszögekből nagy lépés nem tehető, a kis lépések pedig az alsó háromszögbe vezetnek; vagyis azoknak is a belseje, valamint átfogójuk belső pontjai tartoznak a keresett pontok közé.
A függőleges sávozású háromszögekből szintén csak kis lépések tehetők, melyek a legalsó ilyen helyzetű háromszögbe vezetnek. Onnan viszont már egyetlen lépés sem tehető. Ugyanez mondható ezúttal a háromszögek határvonalán levő pontokra is.
Összefoglalva tehát, a keresett pontok az I jelű síkrészben, a vízszintes sávozású háromszögek belsejében, valamint ezen háromszögek átfogóinak belsejében helyezkednek el.
 

Megjegyzés. Kicsit más a helyzet, ha a pozitív síknegyedet zártnak tekintjük (azaz az x≥0,y=0, valamint az x=0,y≥0 pontokat is belevesszük). Ekkor a vízszintes sávozású háromszögek oldalain levő összes pont is a keresettek közé tartozik, továbbá az I. síkrész határa is.