Kezdőlap


Feladat:	Gy.2835	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schneider Zoltán , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Torma Péter , Valkó Benedek , Vörös Zoltán
Füzet:	1993/december, 511 - 512. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Súlyvonal, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/március: Gy.2835

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög súlypontját $S$ -sel. A súlyvonalak harmadolva metszik egymást, tehát

\begin{matrix} A S = \frac{2}{3} s_{a}, B S = \frac{2}{3} s_{b}, C S = \frac{2}{3} s_{c} . \end{matrix}

1. ábra

A S B, B S C, C S A

háromszögekben a háromszög-egyenlőtlenség miatt

\begin{matrix} \frac{2}{3} s_{a} + \frac{2}{3} s_{b} > c, \frac{2}{3} s_{b} + \frac{2}{3} s_{c} > a, \frac{2}{3} s_{c} + \frac{2}{3} s_{a} > b . \end{matrix}

Ezeket összeadva

\begin{matrix} \frac{4}{3} (s_{a} + s_{b} + s_{c}) > a + b + c = 2 s . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} s_{a} + s_{b} + s_{c} > 1,5 s . \end{matrix}

Hátra van még a másik egyenlőtlenség igazolása.

2. ábra

Tükrözzük a háromszöget a

B C

oldal felezőpontjára, az

A

pont tükörképe legyen

A'

. Ekkor

\begin{matrix} B A' = b és A A' = 2 s_{a} . \end{matrix}

Ismét a háromszög-egyenlőtlenséget írjuk fel, ezúttal az

A B A'

háromszögben:

\begin{matrix} 2 s_{a} < b + c . \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 s_{b} < a + c, \\ 2 s_{c} < a + b . \end{matrix}

Ha ezeket az egyenlőtlenségeket összeadjuk és 2-vel elosztjuk, éppen a bizonyítandó

s_{a} + s_{b} + s_{c} < 2 s

egyenlőtlenséget kapjuk.