Kezdőlap


Feladat:	Gy.2833	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1993/november, 388 - 389. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Maradékosztályok, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/március: Gy.2833

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden $p > 5$ prímszámra érvényes a

\begin{matrix} 2 < \frac{p - 1}{2} < p - 1 \end{matrix}

becslés, ami azt jelenti, hogy a

2, (p - 1) / 2, p - 1

egész számok egymástól különböznek, és mindegyikük előfordul az

1, 2, ..., p - 1

számok között. Így

\begin{matrix} {(p - 1)}^{2} = (2 \cdot \frac{p - 1}{2} \cdot (p - 1)) | (p - 1)! . \end{matrix}

Ha valamely

p > 5

prímszám és

m

természetes szám esetén

\begin{matrix} (p - 1)! + 1 = p^{m} \end{matrix}

teljesülne, akkor abból

{(p - 1)}^{2} | (p^{m} - 1)

következne. Mindkét oldalt

(p - 1)

-gyel osztva azt kapnánk, hogy

\begin{matrix} p - 1 | p^{m - 1} + ... + p + 1, \end{matrix}

(1)

a jól ismert

\begin{matrix} p^{k} - 1 = (p - 1) (p^{k - 1} + ... + p + 1) \end{matrix}

azonosság alapján.
Ugyanebből az azonosságból az is következik, hogy

(p - 1) | (p^{k} - 1)

, vagyis

\begin{matrix} p^{k} \equiv 1 (mod p - 1), ha k = 0, 1, 2, ...; \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} p^{m - 1} + p^{m - 2} + ... + p - 1 \equiv m (mod (p - 1)), \end{matrix}

(1) szerint ekkor

(p - 1) | m .

Tehát szükségképpen

m \geq p - 1

, ezért

\begin{matrix} p^{m} \geq p^{p - 1} > {(p - 1)}^{p - 1} > (p - 1)! = p^{m} - 1, ellentmondás. \end{matrix}