Feladat: Gy.2831 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csorba István ,  Elek Péter ,  Herpai Gábor ,  ifj. P. Tóth Béla ,  Lázár Ágnes ,  Németh Zoltán ,  Révai András ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek ,  Vass András ,  Véber Miklós ,  Zalavári Balázs 
Füzet: 1993/november, 388. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sík parkettázás, Logikai feladatok, Sakktáblával kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/március: Gy.2831

Egy 6×6-os sakktáblát 18 darab 2×1-es dominóval fedtünk le. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan vízszintes vagy függőleges egyenes, amely mentén a tábla kettévágható anélkül, hogy bármelyik dominót szét kellene vágni.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a függőleges és vízszintes egyenesek közül csak azokat, amelyek a sakktábla sorait, illetve oszlopait választják el. Ilyenből összesen 10 van. Nyilvánvaló, hogy egy dominót legfeljebb egy ilyen egyenes metszhet el. Megmutatjuk, hogy minden ilyen egyenes viszont páros sok dominót metsz.
Vegyünk közülük egy egyenest, ez a sakktáblát két olyan részre osztja, amelyek mindegyike páros számú mezőt tartalmaz. Vizsgáljuk az egyik részt. Ha elhagyjuk belőle az egyenes által nem metszett dominókat, továbbra is páros számú mezője marad. Ezeket pedig az egyenes által metszett dominók fedik le, méghozzá minden ilyen dominó pontosan egy mezőt. Tehát valóban páros számú dominót metsz ez az egyenes.
A feladat megoldásához azt fogjuk megmutatni, hogy e 10 egyenes között létezik a feltételeknek eleget tevő. Tegyük föl ugyanis, hogy ezen egyenesek mindegyike metsz legalább egy dominót, ekkor viszont (legalább) kettőt is. Ez legalább 20 dominót jelent, amelyek egymástól különböznek, holott összesen csak 18 dominónk van. Ellentmondás, amivel az állítás igazolást nyert.

 

 Vass András (Tata, Eötvös József Gimn. II. o. t.) dolgozata alapján