Kezdőlap


Feladat:	Gy.2823	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	ifj. P. Tóth Béla , Kozma Róbert
Füzet:	1993/november, 387 - 388. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/február: Gy.2823

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a$ , $b$ , $c$ , $d$ számok közül legalább az egyik nullától különböző, hiszen $a = b = c = d = 0$ , $m \neq 0$ esetén az egyenletrendszernek nincs megoldása. Feltehető tehát, hogy például $a \neq 0$ .
Ekkor az első egyenletből

\begin{matrix} x = \frac{m - b y}{a}, \end{matrix}

(1)

ezt a második egyenletbe helyettesítve, majd rendezve

\begin{matrix} y (c b - a d) = c m - a n . \end{matrix}

Tegyük föl először, hogy

c b - a d = 0

, ekkor

m = 0

n = a

esetén

y \cdot 0 = - a^{2}

, aminek nincs megoldása; vagyis

c b - a d \neq 0

.
Így

\begin{matrix} y = \frac{c m - a n}{c b - a d}, \end{matrix}

(2)

majd ezt (1)-be visszaírva:

\begin{matrix} x = \frac{m - \frac{b c m - b a n}{c b - a d}}{a} = \frac{m c b - m a d - m c b + b a n}{a (c b - a d)} = \frac{a (b n - m d)}{a (c b - a d)} = \frac{b n - m d}{c b - a d} . \end{matrix}

(3)

n = 0

és

m = 1

, illetve

m = 0

és

n = 1

esetekben a megoldásokat rendre

x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}

-vel jelölve,

\begin{matrix} x_{1} = - \frac{d}{c b - a d}, y_{1} = \frac{c}{c b - a d}, x_{2} = \frac{b}{c b - a d}, y_{2} - \frac{a}{c b - a d} \end{matrix}

adódik. Képezzük az

x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}

kifejezést:

\begin{matrix} x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = \frac{a d - c b}{{(c b - a d)}^{2}} = - \frac{1}{c b - a d} . \end{matrix}

A bal oldalon a feltételek szerint egész szám áll, továbbá a jobb oldal nevezője is egész. Ez csak úgy lehetséges, ha

\begin{matrix} - \frac{1}{c b - a d} = \pm 1, \end{matrix}

vagyis

| a d - b c | = 1.

Megjegyzés. (2) és (3) segítségével könnyen látható, hogy

| a d - b c | = 1

nemcsak szükséges, hanem elégséges is ahhoz, hogy az egyenletrendszernek minden

m

n

egészre létezzen egész megoldása.