Kezdőlap


Feladat:	Gy.2816	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegedűs Márton
Füzet:	1993/október, 313 - 315. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Abszolútértékes egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/január: Gy.2816

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a vizsgált kifejezést először az $x = y = z = 1$ értékek esetén:

\begin{matrix} 3 | a + b + c | = 3, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} | a + b + c | = 1. \end{matrix}

(1)

Ezután az

x = y = 0

z = 1

helyettesítéssel

\begin{matrix} | a | + | b | + | c | = 1. \end{matrix}

(2)

Összevetve (1)-et és (2)-t, majd négyzetre emelve

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 | a b | + 2 | a c | + 2 | b c | = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} | a b | + | a c | + | b c | = a b + a c + b c . \end{matrix}

Ez pontosan azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a b ⩾ 0, a c ⩾ 0, b c ⩾ 0. \end{matrix}

(3)

Legyen most

x = 1, y = - 1, z = 0.

Ekkor

\begin{matrix} | a - b | + | b - c | + | c - a | = 2. \end{matrix}

Felhasználva, hogy tetszőleges

A, B

számokra

| A | + | B | ⩾ | A - B |,

valamint

(2)

-t is figyelembe véve,

\begin{matrix} 2 = | a - b | + | b - c | + | c - a | \leq | a | + | b | + | b | + | c | + | c | + | a | = 2 (| a | + | b | + | c |) = 2. \end{matrix}

Ez csak úgy teljesülhet, ha

\begin{matrix} | a - b | = | a | + | b |, | b - c | = | b | + | c |, | c - a | = | c | + | a | . \end{matrix}

Az elsőt négyzetre emelve

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - 2 a b = a^{2} + b^{2} + 2 | a b |, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} | a b | = - a b . \end{matrix}

Ugyanez elvégezhető a másik két esetben is, tehát az

\begin{matrix} a b ⩽ 0, b c ⩽ 0, c a ⩽ 0 \end{matrix}

eredményre jutottunk. Ez és (3) együtt azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a b = b c = c a = 0, \end{matrix}

ami pontosan akkor teljesül, ha az

a, b, c

számok közül legalább kettő

0

.
Az

a = b = 0

esetet vizsgálva

\begin{matrix} | c | \cdot | z | + | c | \cdot | x | + | c | \cdot | y | = | x | + | y | + | z | \end{matrix}

adódik, vagyis

c = \pm 1.

Hasonlóan

a = c = 0

esetén

b = \pm 1

, míg

b = c = 0

fennálltakor

a = \pm 1.

Ezek valóban jók is, tehát a megoldást a következő számhármasok adják:

(0,0,1)

(0,0, - 1)

(0,1,0)

(0, - 1,0)

(1,0,0)

(- 1,0,0)

Hegedűs Márton (Főv. Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján