Kezdőlap


Feladat:	Gy.2814	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Huszár Edina
Füzet:	1993/május, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/január: Gy.2814

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $x_{i}$ -vel azt a számot, amelyre az $i$ számot kimondó ember gondolt $(i = 1,2, ...,10)$ .
Ekkor a következő egyenleteket írhatjuk föl:

\begin{matrix} (1) & \frac{x_{2} + x_{4}}{2} & = 3, & (6) & \frac{x_{1} + x_{3}}{2} = 2, \\ (2) & \frac{x_{4} + x_{6}}{2} & = 5, & (7) & \frac{x_{3} + x_{5}}{2} = 4, \\ (3) & \frac{x_{6} + x_{8}}{2} & = 7, & (8) & \frac{x_{5} + x_{7}}{2} = 6, \\ (4) & \frac{x_{8} + x_{10}}{2} & = 9, & (9) & \frac{x_{7} + x_{9}}{2} = 8, \\ (5) & \frac{x_{10} + x_{2}}{2} & = 1, & (10) & \frac{x_{9} + x_{1}}{2} = 10. \end{matrix}

Nekünk

x_{6}

értékére van szükségünk, amit például a következő módon határozhatunk meg. Adjuk össze az

(1) - (5)

egyenleteket:

\begin{matrix} \frac{2 x_{2} + 2 x_{4} + 2 x_{6} + 2 x_{8} + 2 x_{10}}{2} = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25; \end{matrix}

ebből az

(1)

és

(4)

összegének a kétszeresét kivonva

\begin{matrix} x_{2} + x_{4} + x_{6} + x_{8} + x_{10} - 2 (\frac{x_{2} + x_{4}}{2} + \frac{x_{8} + x_{10}}{2}) = 25 - 2 (3 + 9) . \end{matrix}

A műveletet elvégezve

x_{6} = 1

.
Hasonló módon kapható meg, hogy

x_{2} = - 3, x_{4} = 9, x_{8} = 13, x_{10} = 5

; valamint

x_{1} = 6, x_{3} = - 2, x_{5} = 10, x_{7} = 2, x_{9} = 14

. Ezek valóban megoldásai az

(1) - (10)

egyenletrendszernek. A feladat kérdésére tehát a válasz az

1

Megjegyzés. A feladat teljes megoldásához nem elegendő pusztán

x_{6}

értékének meghatározása. Szükség van annak igazolására is, hogy az egyenletrendszernek valóban létezik megoldása. Ha például

x_{2}

értékét kellene a következő egyenletrendszerből meghatározni:

\begin{matrix} (11) & x_{1} + x_{3} & = 1, \\ (12) & 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} & = 2, \\ (13) & x_{1} + x_{2} + x_{3} & = 3, \end{matrix}

akkor

(12)

-ből

(11)

kétszeresét kivonva

x_{2} = 0

, míg

(13)

kétszereséből

(12)

-t kivonva

x_{2} = 4

, vagyis nincs a feltételnek eleget tevő

x_{2}