Feladat: Gy.2810 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1993/május, 211 - 212. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Súlypont, Magasságpont, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/december: Gy.2810

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük M-mel a háromszög magasságpontját, S-sel a súlypontját, csúcsait A, B és C-vel, ahol C az adott csúcs. Mivel a súlypont harmadolja a súlyvonalakat, az AB oldal F felezőpontját megkaphatjuk, ha a CS szakasz felét felmérjük a CS egyenesre az S pontból kiindulva. Az F pontból a CM magasságvonalra állított merőleges egyenes éppen a háromszög AB oldalegyenese. A kerületi szögek tételének jól ismert következménye, hogy az M magasságpontnak az AB egyenesre, illetve F-re vonatkozó M' és M'' tükörképe az ABC háromszög körülírt körén van. Szerkesszük meg tehát a CM'M'' ‐ vagyis az ABC háromszög ‐ körülírt körét, ez kimetszi az AB egyenesből a háromszög hiányzó két csúcsát.
Hátra van még néhány speciális eset, és a feladat megoldhatóságának vizsgálata.
1) Ha az M és C pontok egybeesnek (a háromszög derékszögű), akkor az AB oldal F felezőpontja éppen a háromszög körülírt körének középpontja.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

2) Ha a C, M, S pontok egy egyenesen vannak, akkor a háromszög egyenlő szárú, az M', M'' pontok egybeesnek, vagyis a CM'M'' háromszög elfajuló. Ekkor az ABC háromszög körülírt körének O középpontja a CM' szakasz felezőpontja.
A feladatnak pontosan egy megoldása van, ha az F pontból a CM egyenesre bocsájtott merőleges talppontja a CM szakaszon kívülre esik. Nincs megoldása, ha ez a talppont a CM szakasz belsejében van (illetve, ha egybeesik az M ponttal), hiszen ekkor az F pontból a CM egyenesre állított merőleges elválasztja egymástól a C és M pontokat.
 

Megjegyzés. A szerkesztés némileg egyszerűsödik, ha felhasználjuk azt, hogy egy háromszög magasságpontja (M), súlypontja (S) és körülírt körének középpontja (O) egy egyenesen van és S az OM szakasz O-hoz közelebb eső harmadolópontja. Ezt az egyenest a háromszög Euler‐egyenesének nevezzük.