A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük -mel a háromszög magasságpontját, -sel a súlypontját, csúcsait , és -vel, ahol az adott csúcs. Mivel a súlypont harmadolja a súlyvonalakat, az oldal felezőpontját megkaphatjuk, ha a szakasz felét felmérjük a egyenesre az pontból kiindulva. Az pontból a magasságvonalra állított merőleges egyenes éppen a háromszög oldalegyenese. A kerületi szögek tételének jól ismert következménye, hogy az magasságpontnak az egyenesre, illetve -re vonatkozó és tükörképe az háromszög körülírt körén van. Szerkesszük meg tehát a ‐ vagyis az háromszög ‐ körülírt körét, ez kimetszi az egyenesből a háromszög hiányzó két csúcsát. Hátra van még néhány speciális eset, és a feladat megoldhatóságának vizsgálata. 1) Ha az és pontok egybeesnek (a háromszög derékszögű), akkor az oldal felezőpontja éppen a háromszög körülírt körének középpontja.
1. ábra
2. ábra 2) Ha a , , pontok egy egyenesen vannak, akkor a háromszög egyenlő szárú, az , pontok egybeesnek, vagyis a háromszög elfajuló. Ekkor az háromszög körülírt körének középpontja a szakasz felezőpontja. A feladatnak pontosan egy megoldása van, ha az pontból a egyenesre bocsájtott merőleges talppontja a szakaszon kívülre esik. Nincs megoldása, ha ez a talppont a szakasz belsejében van (illetve, ha egybeesik az ponttal), hiszen ekkor az pontból a egyenesre állított merőleges elválasztja egymástól a és pontokat.
Megjegyzés. A szerkesztés némileg egyszerűsödik, ha felhasználjuk azt, hogy egy háromszög magasságpontja , súlypontja és körülírt körének középpontja egy egyenesen van és az szakasz -hoz közelebb eső harmadolópontja. Ezt az egyenest a háromszög Euler‐egyenesének nevezzük. |