Jelölje $x_i$ azt a tejmennyiséget, amelyet az $i$-edik törpe töltött szét, amikor rá került a sor. Tegyük fel, hogy ezek közül $x_k$ az (egyik) legnagyobb. Mivel egy kör után a bögrékben ugyanannyi tej volt, mint kezdetben, azért a töltögetést tovább ismételve, a $k$-adik törpe ismét ugyanannyit fog széttölteni, mint először. Vizsgáljuk meg, hogyan változott a bögrékben lévő tej mennyisége. Először persze kiürült, utána $\frac{x_{k+1}}{6}$ liter került bele, majd $\frac{x_{k+2}}{6}$ liter, és így tovább, összesen hatszor. Mivel $x_i\le x_k$ minden $i$-re, azért körbeérve legfeljebb $6\frac{x_k}{6}=x_k$ liter lehetett a bögréjében; másfelől tudjuk, hogy pontosan $x_k$ liter volt benne, ez viszont csak úgy lehet, ha $x_l=x_2=\text{...}=x_7$ teljesül. Jelölje ezt a közös értéket $x$. Vizsgáljuk most megint a feladatban szereplő széttöltéseket! A sorrendben első törpének $x$ liter tej volt a bögréjében. Miután a második széttöltötte tejét, az ő (ekkor üres) bögréjébe még ötször került $\frac{x}{6}$ liter tej, azaz neki az osztozás végén, s így annak kezdetén is $\frac{5x}{6}$ liter teje volt. Hasonlóan a harmadiknak $\frac{4x}{6}$ liter, majd sorra $\frac{3x}{6}\mathrm{,}\frac{2x}{6}\mathrm{,}\frac{x}{6}\mathrm{,}\frac{0x}{6}$ jutott, tehát kezdetben is ennyi volt. A feltételek szerint