Kezdőlap


Feladat:	Gy.2807	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1993/november, 385 - 386. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/december: Gy.2807

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt figyeljünk fel arra, hogy $x$ és $y$ szerepe felcserélhető. Ez nyilvánvaló a második egyeneletnél, az elsőben viszont el van rejtve: $x + y$ közé bejött egy tört, amelynek értéke $x$ -et és $y$ -t felcserélve nem változik. Ebből a felismerésből támadhat az az ötletünk, hogy vezessük be az $u = {(x - y)}^{2}$ jelölést. Induljunk ki az ${(x + y)}^{2} = {(x - y)}^{2} + 4 x y$ azonosságból, és a 2. egyenletből $x y$ értékét helyettesítsük be, ekkor az

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = u + 80 \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Az egyenletrendszer első egyenletéből:

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = {(\frac{1}{u} - 10)}^{2} . \end{matrix}

A két kifejezést egybevetve

\begin{matrix} u + 80 = {(\frac{1}{u} - 10)}^{2} . \end{matrix}

(*)

Rendezve az egyenletet kapjuk, hogy

\begin{matrix} u^{3} - 20 u^{2} + 20 u - 1 = 0. \end{matrix}

Ez az egyenlet ún. reciprok-egyenlet, tehát ha egy

u

megoldása, akkor az

\frac{1}{u}

is megoldása.
Az ismert

u^{3} - 1 = (u - 1) (u^{2} + u + 1)

azonosság alapján könnyű a fenti egyenletet szorzattá alakítani:

\begin{matrix} (u - 1) (u^{2} - 19 u + 1) = 0. \end{matrix}

Az egyenlet megoldásai:

u_{1} = 1, u_{2} = \frac{19 + \sqrt[]{357}}{2} \approx 18, 9472, u_{3} = \frac{19 - \sqrt[]{357}}{2} \approx 0, 0528 .

Az előbbiek miatt a kapott másodfokú egyenlet is reciprok-egyenlet lesz, tehát nem véletlen, hogy megoldásai egymás reciprokai.

x = \frac{x + y + x - y}{2}

, illetve

y = \frac{x + y - (x - y)}{2}

azonosságokba helyettesítve az

{(x - y)}^{2} = u, x + y = \frac{1}{u} - 10

összefüggéseket azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} x = \frac{\frac{1}{u} - 10 \pm \sqrt[]{u}}{2}, y = \frac{\frac{1}{u} - 10 \mp \sqrt[]{u}}{2} . \end{matrix}

Mivel

u

mindhárom értéke pozitív, ezek mindegyikét helyettesítve az így kapott (összesen 6) számpárra mindkét egyenlet fennáll. Tekintsünk ugyanis közülük egy tetszőleges

(x, y)

párt, erre

x + y = \frac{1}{u} - 10

{(x - y)}^{2} = u

, az első egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} x - \frac{1}{{(x - y)}^{2}} + y = \frac{1}{u} - 10 - \frac{1}{u} = - 10. \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} x y = \frac{{(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2}}{4} = \frac{{(\frac{1}{u} - 10)}^{2} - u}{4} = \frac{\frac{1}{u^{2}} + 100 - \frac{20}{u} - u}{4} . \end{matrix}

u

által kielégített (*) egyenletből kiolvasható, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{u^{2}} + 100 - \frac{20}{u} - u = 80, \end{matrix}

azaz valóban

x y = 20

.
Kiszámítva tehát a következő megoldásai vannak az egyeneletrendszernek:

x_{1}

=-4

y_{1}

=-5

x_{3}

\approx

-2,7972

y_{3}

\approx

-7,15

x_{5}

\approx

4,5884

y_{5}

\approx

4,3588

x_{2}

=-5

y_{2}

=-4

x_{4}

\approx

-7,15

y_{4}

\approx

-2,7972

x_{6}

\approx

4,3588

y_{6}

\approx

4,5884.