Kezdőlap


Feladat:	Gy.2805	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Zoltán
Füzet:	1993/április, 168 - 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek átdarabolása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/november: Gy.2805

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk a kocka élét $6$ egységnyinek. Bontsuk fel a kockát $3 \times 6 \times 6$ -os, $2 \times 6 \times 6$ -os, $1 \times 6 \times 6$ -os hasábokra. Ezután a $3 \times 6 \times 6$ -os hasábot $4$ darab $3 \times 3 \times 3$ , a $2 \times 6 \times 6$ -os hasábot $9$ darab $2 \times 2 \times 2$ -es, az $1 \times 6 \times 6$ -os hasábot pedig $36$ darab egységkockára osztjuk. Így az eredeti kockát éppen $4 + 9 + 36 = 49$ kockára osztottuk.

Megjegyzések. 1. Németh Zoltán (Bp. Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) foglalkozott a feladat általánosításával és megmutatta, hogy

n \geq 73

esetén egy kockát fel lehet osztani

n

darab kockára. Ez még élesíthető, ugyanis a megfelelő állítás igaz már

n \geq 52

-re is. Ennek bizonyítását csak vázlatosan közöljük. Először megjegyezzük, hogy egy kocka felosztható a)

8

, b)

20

, c)

38

kockára. Ehhez a kocka élét válasszuk egységnyinek. Az a) esetben a kockát csupa

\frac{1}{2}

élhosszú kockára osztjuk. A b) esetben először elhelyezünk egy

\frac{2}{3}

élhosszúságú kockát az eredeti kockában úgy, hogy a két kocka egyik csúcsa egybeessen, majd a maradék részt kitöltjük

3^{3} - 2^{3} = 19

darab

\frac{1}{3}

élhosszúságú kockával. A c) esetben az előbbihez hasonlóan járunk el, csak most egy

\frac{3}{4}

élhosszúságú és

4^{3} - 3^{3} = 37

darab

\frac{1}{4}

élhosszúságú kockát helyeünk el az egységkockánkban. Ezek után állításunk a feladatbeli és a fenti háromféle felbontás ismételt alkalmazásával könnyen bizonyítható; ezt az olvasóra bízzuk.

2. Nem ismeretes, hogy feldarabolható-e egy kocka

51

darab kockára.