Kezdőlap


Feladat:	Gy.2798	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Révai András , Várszegi Róbert
Füzet:	1993/április, 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Legnagyobb közös osztó, Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/november: Gy.2798

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a legnagyobb közös osztó, $a^{2} - b^{2}$ , pozitív, ezért $a > b$ . Továbbá $0 \leq a \leq 9,0 \leq b \leq 9$ , de $a$ és $b$ egyszerre nem lehet $0$ . A feltétel szerint

\begin{matrix} (a^{2} - b^{2}) | (10 a + b), illetve (a^{2} - b^{2}) | (10 b + a) . \end{matrix}

Mivel két szám osztója osztója a két szám összegének és különbségének is:

\begin{matrix} (a^{2} - b^{2}) | (11 a + 11 b), és (a^{2} - b^{2}) | (9 a - 9 b) . \end{matrix}

Felhasználva az

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

összefüggést és az oszthatóság tulajdonságait:

\begin{matrix} (1) a - b | 11, & (2) a + b | 9 . \end{matrix}

Mivel

a - b > 0

és

a + b \leq 9

, ezért (1)-ből

a - b = 1

. Az

a + b > 0

miatt (2)-ből

a + b = 1

a + b = 3

, illetve

a + b = 9

lehet. A három esetet megvizsgálva:

\begin{matrix} \begin{matrix} a + b = 1 \\ a - b = 1 \end{matrix}} \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \end{matrix} \begin{matrix} a + b = 3 \\ a - b = 1 \end{matrix}} \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \end{matrix} \begin{matrix} a + b = 9 \\ a - b = 1 \end{matrix}} \begin{matrix} a = 5 \\ b = 4 \end{matrix} \end{matrix}

Könnyen ellenőrízhetjük, hogy az eredményül kapott

(10,1)

(21,12)

(54,45)

számpárok megfelelnek a feladat feltételeinek.

Várszegi Róbert (Tata, Eötvös J. Gimn., I. o. t.)
dolgozata alapján