Kezdőlap


Feladat:	Gy.2786	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gauder Milán , Makai Márton , Nagy Katalin , Séllei Béla , Sneider Zoltán , Várkonyi Péter
Füzet:	1993/február, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Pont körüli forgatás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: Gy.2786

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük $O$ -val azt a pontot, amely az egyik négyzetnek középpontja, a másik négyzetnek csúcsa, továbbá $M$ -mel és $N$ -nel a két négyzet oldalainak metszéspontjait az 1. ábrának megfelelően.

1. ábra

Ekkor a két négyzet közös része az

O N B M

(esetleg elfajuló) négyszög, amelynek területe

\begin{matrix} T_{O N B M} = T_{O B M} + T_{O N B} . \end{matrix}

O N B

háromszög egybevágó az

O M A

háromszöggel, mert szögeik merőleges szárú hegyesszögek, és

O A = O B = 1 / \sqrt[]{2}

; ezért

T_{O M A} = T_{O N B}

. Tehát

T_{O N B M} = T_{O B M} + T_{O M A} = T_{A O B} = 1 / 4

II. megoldás Az

O

középpontú négyzetet a másik négyzet

O

-t tartalmazó oldalegyenesei négy egybevágó része osztják (2. ábra), hiszen egy

O

körüli

90^{\circ}

-os forgatás ezeket a részeket egymásba viszi. Mivel a kapott négy egybevágó alakzat közül az egyik éppen a két négyzet közös része, azért a keresett terület értéke

1 / 4

2. ábra

Megjegyzések 1.

M = A

és

N = B

esetén az

O M A

és

O N B

háromszögek elfajulóak, ekkor a két négyzet közös része éppen az

A O B

háromszög.
2. A feladat megoldásában felhasználtuk, hogy az

O

középpontú négyzet nem metszi a másik négyzet

O

-t nem tartalmazó oldalait; valóban, ha

X

az előbbi négyzet oldalának pontja, akkor

O X ⩽ O B ⩽ \frac{1}{\sqrt[]{2}} < 1

, míg az utóbbi négyzet

O

-t nem tartalmazó oldalegyenesei

O

-tól egységnyi távolságra vannak.
Ha a feladatot úgy módosítjuk, hogy az

O

középpontú négyzet továbbra is egységnégyzet, míg a másik,

O

csúcspontú négyzet oldala

a

, akkor könnyen igazolhatók a következő állítások:
Ha

a ⩾ 1 / \sqrt[]{2}

, akkor a közös rész

1 / 4

területű.
Ha

a ⩽ 1 / (2 \sqrt[]{2})

, akkor az

a

oldalú négyzetet tartalmazza a másik négyzet, így a közös rész

a^{2}

területű.
Ha

1 / (2 \sqrt[]{2}) < a < 1 / \sqrt[]{2}

, akkor a közös rész területe függ a két négyzet helyzetétől; ez a terület pontosan akkor maximális, ha a két négyzet oldalai párhuzamosak, és akkor minimális, ha a két négyzet oldalai egymással

45^{\circ}

-os szöget zárnak be.