Kezdőlap


Feladat:	Gy.2785	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ravasz Erzsébet , Szádeczky-Kardoss Szabolcs
Füzet:	1993/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Irracionális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: Gy.2785

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy a négyzetgyökfüggvényt csak nemnegatív számokra értelmezzük, és értéke szintén nemnegatív, így az egyenlet csak $x, y \geq 0$ -ra teljesülhet. Legyen

\begin{matrix} f_{1} (x) = \sqrt[]{x}, f_{2} (x) = \sqrt[]{x + \sqrt[]{x}}, ..., f_{n} (x) = {\underset{︸}{\sqrt[]{x + \sqrt[]{x + ... + x \sqrt[]{x}}}}}_{n db gyökjel}^{} . \end{matrix}

Ezekkel egyenletünk

\begin{matrix} f_{1992} (x) = y \end{matrix}

alakban írható fel.
Vegyük észre, hogy

\begin{matrix} {(f_{n} (x))}^{2} - x = f_{n - 1} (x); \end{matrix}

ezért ha

x

és

f_{n} (x)

értéke egész szám, akkor

f_{n - 1} (x)

is egész, majd ugyanígy

f_{n - 2} (x), ..., f_{2} (x), f_{1} (x)

is. Tehát ha

\begin{matrix} f_{1992} (x) = y \end{matrix}

egész, akkor

f_{1} (x) = \sqrt[]{x}

és

f_{2} (x) = \sqrt[]{x + \sqrt[]{x}}

is az, jelölje értéküket

z

és

k

, ekkor

\begin{matrix} k^{2} = x + \sqrt[]{x} = z^{2} + z, \end{matrix}

ahol

z

és

k

nemnegatív egészek.
Ha

z = 0

, akkor

x = 0

, és

\begin{matrix} f_{1} (x) = f_{2} (x) = ... = f_{1992} (x) = y = 0, \end{matrix}

azaz

x = y = 0

egy megoldás. Ha

z > 0

, akkor

\begin{matrix} z^{2} < z^{2} + z < z^{2} + 2 z + 1 = {(z + 1)}^{2}, \end{matrix}

így

z^{2} + z

nem lehet négyzetszám. Tehát az egyetlen megoldás a

(0,0)

számpár.