Kezdőlap


Feladat:	Gy.2783	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1993/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	"a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: Gy.2783

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldalt a tízes számrendszerbe átírva s ott átalakítva:

\begin{matrix} {(A A A A_{A + 1})}^{2} = {(A ({(A + 1)}^{3} + {(A + 1)}^{2} + (A + 1) + 1))}^{2} = {(A \frac{{(A + 1)}^{4} - 1}{A})}^{2} = \\ = {({(A + 1)}^{4} - 1)}^{2} = {(A + 1)}^{8} - 2 {(A + 1)}^{4} + 1 = \\ = {(A + 1)}^{7} A + (A + 1^{4} ({(A + 1)}^{3} - 2) + 1. \end{matrix}

Itt

A \geq 1

miatt

{(A + 1)}^{3} - 2 > 0

. Ezért a fenti számnak az

A + 1

alapú számrendszerben való felírásakor az

{(A + 1)}^{3}

{(A + 1)}^{2}

(A + 1)

helyiértékeken

0

, az

{(A + 1)}^{0}

helyiértéken pedig

1

szerepel; így

B = 0

C = 1

. Az eddigiek alapján az eredeti egyenlet a következőképpen írható:

\begin{matrix} {(A + 1)}^{7} A + {(A + 1)}^{4} ({(A + 1)}^{3} - 2) + 1 = \\ = A ({(A + 1)}^{7} + {(A + 1)}^{6} + {(A + 1)}^{5}) + {(A + 1)}^{4} + 1. \end{matrix}

+ 1

-et kivonva, majd

{(A + 1)}^{4}

-nel egyszerűsítve:

\begin{matrix} {(A + 1)}^{3} - 2 = A ({(A + 1)}^{2} + (A + 1)) + 1, \end{matrix}

amiből

A = 2

. Gondolatmenetünk egyszerre mutatja, hogy az

A = 2

B = 0

C = 1

számhármas megoldás, és más megoldás nem létezik.