Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át az

\begin{matrix} a_{k} = 3 a_{k - 1} - 2 a_{k - 2} \end{matrix}

összefüggést a következőképpen:

\begin{matrix} a_{k} - a_{k - 1} = 2 (a_{k - 1} - a_{k - 2}) . \end{matrix}

Ezt felhasználva,

\begin{matrix} a_{100} - a_{99} = 2 (a_{99} - a_{98}) = 2^{2} (a_{98} - a_{97}) = ... = 2^{99} (a_{1} - a_{0}) . \end{matrix}

Minthogy

a_{1}

és a

a_{0}

pozitív egészek és

a_{1} > a_{0}

, azért

a_{0} \geq 1

és

a_{2} - a_{1} \geq 1

teljesül. Így

\begin{matrix} a_{100} \geq a_{99} + 2^{99}, \end{matrix}

általában pedig

\begin{matrix} a_{k} \geq a_{k - 1} + 2^{k - 1}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a_{100} \geq 2^{99} + a_{99} \geq 2^{99} + 2^{98} + a_{98} \geq ... \geq \\ \geq 2^{99} + 2^{98} + ... + 2^{0} + a_{0} = 2^{100} - 1 + a_{0} \geq 2^{100} > 2^{99} . \end{matrix}