Kezdőlap


Feladat:	Gy.2777	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1992/december, 447. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Klasszikus valószínűség, Többszemélyes véges játékok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/május: Gy.2777

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

András megteheti ezt! Tekintsük például a következő számozást: az első kockára a 18, 17, 6, 5, 4, 3, a másodikra a 16 ,15, 14, 13, 2, 1, a harmadikra pedig a 12, 11, 10, 9, 8, 7 kerüljön. Ha Béla az elsőt választaná, András válassza a hármast; a második esetén az egyest; míg a hármas esetén a kettest. Ki fogjuk számolni, hogy az egyes esetekben mennyi a valószínűsége annak, hogy András nagyobbat dob Bélánál. Ha ez mindhárom esetben nagyobb 1/2-nél, akkor készen vagyunk.
Az egyes és hármas kocka összehasonlítása: a lehetséges esetek száma $6 \cdot 6 = 36$ . Ebből a kedvezőek (András számára) a következők: a hármason bármelyik szám, az egyesen pedig a 6, 5, 4, 3 valamelyike áll. Ez 24 eset, a valószínűség tehát $\frac{24}{36} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$ .

A kettes és egyes kockát tekintve a kedvező esetek így alakulnak: az egyesen a 18 vagy 17 és a kettesen bármi; vagy az egyesen a 6, 5, 4, 3 valamelyike, a kettesen pedig az 1 vagy 2. Ez összesen

2 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 20

eset, a valószínűség értéke

\frac{20}{36} = \frac{5}{9} > \frac{1}{2}

A hármas és kettes kockák esetében a kedvező kimenetelek a következők: a kettesen a 16 ,15, 14, 13 valamelyike, a hármason pedig bármi. A valószínűség most is

\frac{6 \cdot 4}{36} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2}

Megjegyzés. Jelölje rendre

p_{1}

p_{2}

és

p_{3}

annak a valószínűségét, hogy az első kockával nagyobbat dobunk, mint a másodikkal, a másodikkal nagyobbat dobunk, mint a harmadikkal, ill. a harmadikkal nagyobbat, mint az elsővel. Ha Béla ‐ a körülményeihez képest ‐ a legjobban választ, akkor András nyerésének a valószínűsége

p =

min

{p_{1}, p_{2}, p_{3}}

.
A megoldásban szereplő kitöltés esetén ez a valószínűség

\frac{20}{36}

. Ennek értéke némileg növelhető: az első kockára az 1, 10, 11, 12, 13, 14; a másodikra az 5, 6, 7, 8, 9, 18; a harmadikra pedig a 2, 3, 4, 15, 16, 17 számokat írva:

p = \frac{21}{36}

. Belátható, hogy

p

értéke

\frac{21}{36}

-nál már semmilyen kitöltés mellett sem lehet nagyobb. Ennek a bizonyítása megtalálható lapunk 1973. évfolyamának (47. kötet) 3‐4. számában, Bártfai Pál: "A három dobókocka'' c. cikkében, ahol a legjobb kitöltések megtalálásának módszeréről is olvashatunk.