Kezdőlap


Feladat:	Gy.2776	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Markót Mihály , Németh Tamás , Rákóczi Bálint , Révai Tamás , Szeredi Tibor , Valkó Benedek , Vörös Zoltán
Füzet:	1992/november, 388 - 389. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Exponenciális egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/május: Gy.2776

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy $x = 1992$ esetén a kifejezés értéke négyzetszám. Valóban, $4^{27} + 4^{1010} + 4^{1992} = {(2^{27})}^{2} + {(2^{1992})}^{2} + 2^{2020} = {(2^{27})}^{2} + {(2^{1992})}^{2} + 2 \cdot 2^{27} \cdot 2^{1992} = {(2^{27} + 2^{1992})}^{2}$ .
Ezután bebizonyítjuk, hogy semmilyen $x > 1992$ egész számra sem kaphatunk négyzetszámot. A kifejezésből $4^{27}$ -t kiemelve:

\begin{matrix} 4^{27} (1 + 4^{983} + 4^{x - 27}) . \end{matrix}

Mivel

4^{27}

négyzetszám, és

x > 1992

, így elegendő az

1 + 4^{983} + 4^{x - 27}

értékét vizsgálni. Tegyük fel, hogy ez mégis négyzetszám. Ekkor mivel

1 + 4^{983} + 4^{x - 27} > {(2^{x - 27})}^{2}

, ezért nem lehet kisebb

2^{x - 27} + 1

négyzeténél:

\begin{matrix} 1 + 4^{983} + 4^{x - 27} \geq {(2^{x - 27} + 1)}^{2} = 1 + 4^{x - 27} + 2^{x - 26}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 2^{1966} \geq 2^{x - 26}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 1966 \geq x - 26 > 1992 - 26 = 1966, \end{matrix}

ami ellentmondás. Tehát a keresett szám

1992

Megjegyzés. A közölt megoldás után joggal merül fel a kérdés, hogyan lehetett az

x = 1992

értékére rájönni. Mivel a megadott háromtagú összeg tagjai négyzetszámok, innen adódik az az ötlet, hogy a kifejezést egy kéttagú összeg négyzetének tekintsük,

a^{2} + b^{2} + 2 a b

alakban felírva. Ekkor három esetet kell megkülönböztetnünk aszerint, hogy a három közül melyik tagot választjuk

2 a b

-nek. Például

2 a b = 4^{27}

esetén

{a^{2}, b^{2}} = {4^{1010}, 4^{x}}

, így

x = - 957

. A

2 a b = 4^{1010}

, illetve

2 a b = 4^{x}

választás esetén hasonlóan

x = 1992

, illetve

x = 519