Kezdőlap


Feladat:	Gy.2773	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Jombik Zoltán
Füzet:	1992/október, 312 - 314. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Térelemek és részeik, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/április: Gy.2773

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a gúla alaplapja az $A B C D$ négyzet, ötödik csúcsa $E$ . Az $A E D$ oldallap és az alaplap szögfelezője messe az $E B$ , illetve $E C$ élt az $F$ , illetve a $G$ pontban. Legyen $H$ és $I$ az $A D$ , illetve $B C$ élek felezőpontja, $J$ pedig a szögfelező sík és az $E I$ szakasz döféspontja (1. ábra).

1. ábra

A szögfelező sík az

A B C D E

gúlából az

A F G D E

gúlát vágja le. Először ennek a térfogatát határozzuk meg. Legyen az

A B C D

négyzet oldalhossza

a

. Mivel az oldallapok az alaplappal

60^{\circ}

-os szöget zárnak be, azért

E H I ∢ = E I H ∢ = 60^{\circ},

vagyis az

E H I

háromszög szabályos, amelynek oldalhossza

H I = A B = a

. Mivel

A F G D

szögfelező sík, azért

J H I ∢ = 30^{\circ}

, azaz

H J

magasságvonal az

E H I

háromszögben (2. ábra).

2. ábra

J

pont felezi az

E I

szakaszt, ezért a

J

-n átmenő,

B C

-vel párhuzamos

F G

szakasz középvonal az

E B C

háromszögben, hossza

F G = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}

. Az

A D G F

négyszög olyan trapéz, amelynek két alapja

a

, illetve

\frac{a}{2}

, magassága pedig

H J = \frac{a \sqrt[]{3}}{2}

; ezek alapján területe:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (a + \frac{a}{2}) \cdot \frac{a \sqrt[]{3}}{2} = \frac{a^{2} \cdot 3 \sqrt[]{3}}{8} . \end{matrix}

E J

merőleges az

A D F G

síkra (hiszen

E J ⊥ F G

és

E J ⊥ H J

), ezért az

A F G D E

gúla

E

-hez tartozó magassága

E J = \frac{a}{2}

; így a gúla térfogata:

\begin{matrix} V_{A F G D E} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \cdot 3 \sqrt[]{3}}{8} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt[]{3}}{16} . \end{matrix}

A B C D E

gúla

E

-hez tartozó magassága megegyezik az

E H I

szabályos háromszög

E

-hez tartozó magasságával, tehát ennek a gúlának a térfogata:

\begin{matrix} V_{A B C D E} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a \cdot \sqrt[]{3}}{2} = \frac{a^{3} \cdot \sqrt[]{3}}{6} . \end{matrix}

A B C D F G

test térfogata a két gúla térfogatának különbsége

\begin{matrix} V_{A B C D F G} = V_{A B C D E} - V_{A F G D E} = \frac{a^{3} \cdot \sqrt[]{3}}{6} - \frac{a^{3} \cdot \sqrt[]{3}}{16} = \frac{a^{3} \cdot 5 \sqrt[]{3}}{48} . \end{matrix}

A szögfelező sík által meghatározott két test térfogatának aránya:

\begin{matrix} \frac{V_{A F G D E}}{V_{A B C D F G}} = \frac{\frac{a^{3} \cdot \sqrt[]{3}}{16}}{\frac{a^{3} \cdot 5 \sqrt[]{3}}{48}} = \frac{3}{5} . \end{matrix}

Jombik Zoltán (Esztergom, Temesvári P. Ferences Gimn., I. o. t.)
dolgozata alapján